Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т1: Учебное пособие для втузов.— 13-е изд.— М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1985.— 432 с.
Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.
Первый том включает разделы: введение в анализ, дифференциальное исчисление (функций одной и нескольких переменных), неопределенный и определенный интегралы.
Настоящее издание не отличается от предыдущего (1978 г.).
Для студентов высших технических учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к девятому изданию ................9
Предисловие к пятому изданию ................11
ГЛАВА I ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ
§ 1. Действительные числа. Изображение действительных чисел точками числовой оси ...........13
§ 2. Абсолютная величина действительного числа..................15
§ 3. Переменные и постоянные величины .............16
§ 4. Область изменения переменной величины........................17
§ 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины. Ограниченная переменная величина........18
§ 6. Функция ....................... 19
§ 7. Способы задания функции .................20
§ 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции..............22
§ 9. Алгебраические функции .................26
§ 10. Полярная система координат..............28
Упражнения к главе I ...........29
ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
§ 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина ..................31
§ 2. Предел функции.............33
§ 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции 36
§ 4. Бесконечно малые и их основные свойства.........39
§ 5. Основные теоремы о пределах ...........42
§ 6. Предел функции при х......46
§ 7. Число е ..............................47
§ 8. Натуральные логарифмы................51
§ 9. Непрерывность функций .................... 53
§ 10. Некоторые свойства непрерывных функций ..............56
§ 11. Сравнение бесконечно малых ..............59
Упражнения к главе II ........ 61
ГЛАВА III ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 1. Скорость движения.........................64
§ 2. Определение производной ...................................66
§ 3. Геометрическое значение производной..........................67
§ 4. Дифференцируемость функций ................69
§ 5. Производная от функции у~хп при п целом и положительном 71
§ 6. Производные от функций у = sin х, y = cos х .............72
§ 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию,
суммы, произведения, частного..................................74
§ 8. Производная логарифмической функции........................78
§ 9. Производная от сложной функции .............................79
§ 10. Производные функций y = tg x, у = ctg х, у= ln х...........80
§ 11. Неявная функция и ее дифференцирование ............82
§ 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции.........83
§ 13. Обратная функция и ее дифференцирование......85
§ 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование........88
§ 15. Таблица основных формул дифференцирования..................92
§ 16. Параметрическое задание функции..............................93
§ 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме ...........95
§ 18. Производная функции, заданной параметрически ...............97
§ 19. Гиперболические функции ......................98
§ 20. Дифференциал....................101
§ 21. Геометрическое значение дифференциала.....................105
§ 22. Производные различных порядков.................106
§ 23. Дифференциалы различных порядков...................108
§ 24. Производные различных порядков от неявных функций и функций, заданных параметрически...........109
§ 25. Механическое значение второй производной.................111
§ 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали .............112
§ 27. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу.............115
Упражнения к главе III ..............................116
ГЛАВА IV. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)..................124
§ 2. Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа) ............126
§ 3. Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)..........127
§ 4. Предел отношения двух бесконечно малых величин раскрытие неопределенностей вида.......128
§ 5. Предел отношения двух бесконечно больших величин раскрытие неопределенностей вида .................131
§ 6. Формула Тейлора............135
§ 7. Разложение по формуле Тейлора функций sin x, cos х ........138
Упражнения к главе IV.......141
ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
§ 1. Постановка задачи .............144
§ 2. Возрастание и убывание функции .............. 145
§ 3. Максимум и минимум функций .............146
§ 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной.......152
§ 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной..........155
§ 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .........158
§ 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач ................159
§ 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора .......160
§ 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба..........162
§ 10. Асимптоты..................167
§ 11. Общий план исследования функций и построения графиков t ........171
§ 12. Исследование кривых, заданных параметрически.......175
Упражнения к главе........179
ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ
§ 1. Длина дуги и ее производная ......................184
§ 2. Кривизна.................................186
§ 3. Вычисление кривизны ......................187
§ 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически..........190
§ 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах .........190
§ 6. Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента........192
§ 7. Свойства эволюты..............196
§ 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения ........199
Упражнения к главе VI .................203
ГЛАВА VII КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ
§ 1. Комплексные числа. Исходные определения.........206
§ 2. Основные действия над комплексными числами .......208
§ 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа .........211
§ 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства.........213
§ 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа ........215
§ 6. Разложение многочлена на множители ................217
§ 7. О кратных корнях многочлена ................220
§ 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней.........221
§ 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа .........222
§ 10. Интерполяционная формула Ньютона........224
§ 11. Численное дифференцирование .................226
§ 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева ...............227
Упражнения к главе VII ...................228
ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Определение функции нескольких переменных.........230
§ 2. Геометрическое изображение функции двух переменных .......233
§ 3. Частное и полное приращение функции .................234
§ 4. Непрерывность функции нескольких переменных .............235
§ 5. Частные производные функции нескольких переменных..........238
§ 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных ................239
§ 7. Полное приращение и полный дифференциал . .................240
§ 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.......243
§ 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях......244
§ 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции .............247
§ 11. Производная от функции, заданной неявно .....................250
§ 12. Частные производные различных порядков .....................253
§ 13. Поверхности уровня ...........................................257
§ 14. Производная по направлению..................................258
§ 15. Градиент......................................................260
§ 16. Формула Тейлора для функции двух переменных................263
§ 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных .........265
§ 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы)......272
§ 19. Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов ................276
§ 20. Особые точки кривой ...................280
Упражнения к главе VIII .................284
ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ I. Уравнения кривой в пространстве ........288
§ 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости..........290
§ 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) .......296
§ 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении ..................298
§ 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение..............305
§ 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности................309
Упражнения к главе IX ...................313
ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл..........315
§ 2, Таблица интегралов..................317
§ 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла..................319
§ 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки ..............321
§ 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен .............323
§ 6. Интегрирование по частям..............325
§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование ...........329
§ 8. Разложение рациональной дроби на простейшие................332
§ 9. Интегрирование рациональных дробей..........................335
§ 10. Интегралы от иррациональных функций.....................337
§ 11. Интегралы вида ......................338
§ 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций......341
§ 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок..............345
§ 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции................347
Упражнения к главе X.................348
ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы ..........356
§ 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла .......358
§ 3. Основные свойства определенного интеграла .............367
§ 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница ................371
§ 5. Замена переменной в определенном интеграле.........374
§ 6. Интегрирование по частям ..................376
§ 7. Несобственные интегралы ..................378
§ 8. Приближенное вычисление определенных интегралов...........385
§ 9. Формула Чебышева ....................... 389
§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция...... 393
§ 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной 397 Упражнения к главе XI ......397
ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах........401
§ 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах ........404
§ 3. Длина дуги кривой ...........................405
§ 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений ...........409
§ 5. Объем тела вращения .................411
§ 6. Площадь поверхности тела вращения.........................411
§ 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла ...........412
§ 8. Координаты центра масс..................414
§ 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла ..........417
Упражнения к главе XII ........................418
Предметный указатель ....................424