Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2. Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1985.—560 с.
Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.
Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы.
Для студентов высших технических учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к девятому изданию ................9
Предисловие к пятому изданию ...................11
ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии ........13
§ 2. Определения ..............16
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия) .......17
§ 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия..............22
§ 5. Однородные уравнения первого порядка .............25
§ 6. Уравнения, приводящиеся к однородным.................27
§ 7. Линейные уравнения первого порядка .................30
§ 8. Уравнение Бернулли ....................33
§ 9. Уравнение в полных дифференциалах...............35
§ 10. Интегрирующий множитель ...................38
§ 11. Огибающая семейства кривых..................39
§ 12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка......45
§ 13. Уравнение Клеро...............47
§ 14. Уравнение Лагранжа ..................49
§ 15. Ортогональные и изогональные траектории...............50
§ 16. Дифференциальные уравнения высших порядков (общие понятия)........55
§ 17. Уравнение вида y = f(x)......................56
§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости .................59
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка ..................66
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства.....68
§ 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами................74
§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами...................79
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка..............81
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами..................84
§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков.......90
§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний ..........94
§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний...........96
§ 28. Вынужденные колебания..............99
§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений .........103
§ 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами..................108
§ 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки .........113
§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера ..............127
§ 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора. Метод Адамса...................130
§ 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка.........136
Упражнения к главе XIII..................
Глава XIV. Кратные интегралы
§ 1. Двойной интеграл......................152
§ 2. Вычисление двойного интеграла.................151
§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)................160
§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов ........166
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах.............168
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)...........174
§ 7. Вычисление площади поверхности .............179
§ 8. Плотность распределения вещества и двойной интеграл..........182
§ 9. Момент инерции площади плоской фигуры...................184
§ 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры..............188
§ 11. Тройной интеграл................190
§ 12. Вычисление тройного интеграла............191
§ 13. Замена переменных в тройном интеграле..............196
§ 14. Момент инерции и координаты центра масс тела..............199
§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра..............201
Упражнения к главе XIV .............202
Глава XV. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
§ 1. Криволинейный интеграл .............208
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла..................211
§ 3. Формула Грина.......................217
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования ..................219
§ 5. Поверхностный интеграл...................224
§ 6. Вычисление поверхностного интеграла.....................226
§ 7. Формула Стокса ....................229
§ 8 Формула Остроградского ....................233
§ 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения ..............236
Упражнения к главе XV......................239
Глава XVI. Ряды
§ 1. Ряд. Сумма ряда..............................................245
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда..........................248
§ 3. Сравнение рядов с положительными членами....................250
Часть 1
§ 4. Признак Даламбера............................................252
§ 5. Признак Коши................................................256
§ 6. Интегральный признак сходимости ряда........................257
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница....................260
§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость .......263
§ 9. Функциональные ряды .......................266
§ 10. Мажорируемые ряды ............................267
§ 11. Непрерывность суммы ряда......................269
§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов ....................272
§ 13. Степенные ряды. Интервал сходимости..........................275
§ 14. Дифференцирование степенных рядов............................279
§ 15. Ряды по степеням х—а........................................280
§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена....................................282
§ 17. Примеры разложения функций в ряды..........................283
§ 18. Формула Эйлера..............................................285
§ 19. Биномиальный ряд............................................286
§ 20. Разложение функции в степенной ряд. Вычисление логарифмов .............288
§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов..........290
§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 292
§ 23. Уравнение Бесселя .....................295
§ 24. Ряды с комплексными членами .....................299
§ 25. Степенные ряды с комплексной переменной......................300
§ 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)................302
§ 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении ....304
§ 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения........308
Упражнения к главе XVI .................310
Глава XVII. Ряды Фурье
§ 1. Определение. Постановка задачи.................318
§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье...............322
§ 3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье...............327
§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций..................329
§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 21...............331
§ 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье..........332
§ 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена...........334
§ 8. Интеграл Дирихле ................339
§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке ..................341
§ 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье ........343
§ 11. Практический гармонический анализ.................345
§ 12. Ряд Фурье в комплексной форме...................346
§ 13. Интеграл Фурье ....................349
§ 14. Интеграл Фурье в комплексной форме...................352
§ 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций..................355
§ 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов .................357
Упражнения к главе XVII..............362
Глава XVIII. Уравнения математической физики
§ 1. Основные типы уравнений математической физики ..............364
§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах ..........365
§ 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)........368
§ 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи..........372
§ 5. Распространение тепла в пространстве ..................374
§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей.............377
§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне...............379
§ 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнений Лапласа. Формулировка краевых задач..................384
§ 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях..............389
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга...............390
§ 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей..........394
Упражнения к главе XVIII......396
Глава XIX. Операционное исчисление и некоторые его приложения
§ 1. Начальная функция и ее изображение.................400
§ 2. Изображение функций а(t), sin t, cos t................402
§ 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at............403
§ 4. Свойство линейности изображения................405
§ 5. Теорема смещения.................405
§ 6. Изображение функций.......405
§ 7. Дифференцирование изображения .................407
§ 8. Изображение производных......................409
§ 9. Таблица некоторых изображений.................410
§ 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения .............411
§ 11. Теорема разложения .................415
§ 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом..................417
§ 13. Теорема свертывания........................418
§ 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей................420
§ 15. Решение дифференциального уравнения колебаний ......421
§ 16. Исследование свободных колебаний ...............423
§ 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы...........424
§ 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса..............426
§ 19. Теорема запаздывания.................427
§ 20. Дельта-функция и ее изображение...........428
Упражнения к главе XIX................431
Глава XX. Элементы теории вероятностей и математической статистики
§ 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей............434
§ 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей............436
§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события ...........438
§ 4. Умножение вероятностей независимых событий...............441
§ 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность........443
§ б. Вероятность гипотез. Формула Байеса..................446
§ 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины .............449
§ 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях ...............451
§ 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины ........ 455
§ 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах .......460
§ 11. Функции от случайных величин.............463
§ 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал ............464
§ 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей........ 468
§ 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины ........471
§ 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения..........474
§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения........476
§ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона ..............477
§ 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка ........481
§ 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа ......... 483
§ 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок .......484
§ 21. Среднеарифметическая ошибка................486
§ 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок..............486
§ 23. Двумерная случайная величина ............487
§ 24. Нормальный закон распределения на плоскости .......491
§ 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения......... 492
§ 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания............494
§ 27. Задачи математической статистики. Статистический материал ..........495
§ 28. Статистический ряд. Гистограмма ............... 496
§ 29. Определение подходящего значения измеряемой величины .........499
§ 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа............500
Упражнения к главе XX.................504
Глава XXI. Матрицы. матричная запись систем и решений систем линейных дифференциальных уравнений
§ 1. Линейные преобразования. Матрица...................508
§ 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы............511
§ 3. Обратное преобразование ...................513
§ 4. Действия над матрицами. Сложение матриц...............515
§ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы ........518
§ 6. Обратная матрица..................519
§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной.............520
§ 8. Матричная запись системы линейных уравнений.............522
§ 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом .........523
§ 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы ..........525
§ 11. Собственный вектор линейного преобразования...............528
§ 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами..............531
§ 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому...........532
§ 14. Квадратичные формы и их преобразования...........534
§ 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений ...............536
§ 16. Дифференцирование и интегрирование матриц.........537
§ 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами .............539
§ 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка......543
§ 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи.............544
Упражнения к главе XXI ....................548
Приложения.......................550
Предметный указатель ...................553
Часть 2
