Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. Пер. с англ. - М., 1976, 464 с.
Книга посвящена систематическому изложению одного из новейших методов численного анализа — метода конечных элементов — и его приложений к широкому классу нелинейных задач механики сплошных сред и строительной механики. Понятие конечного элемента служит тем звеном, которое объединяет основы механики сплошных сред и современные методы численного анализа и дает инструмент для получения количественной информации о нелинейных процессах. Хотя основное внимание уделено решению задач механики твердого тела, материал излагается таким образом, что результаты могут быть применены и в ряде других областей математической физики, таких, как динамика разреженных газов или теория электромагнетизма.
Книга представляет значительный интерес для инженеров-исследователей и научных работников, занимающихся вопросами нелинейной механики и ее практическими приложениями. Она полезна преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов.
Оглавление
Предисловие редактора перевода ........ 5
Предисловие ............................................6
Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ................9
1. Введение ............ 9
2. Концепция конечных элементов ..............10
2.1. Исторические замечания ..............11
3. Механика сплошных сред ...............13
4. Кинематика..................................14
4.1. Геометрия и движение ..................14
4.2. Перемещение и деформация ..............17
4.3. Инварианты деформации ................10
4.4. Изменения объема и площади ..........20
4.5. Скорость, ускорение и скорость деформации 21
4.6. Криволинейные координаты ............22
5. Динамика....................................23
5.1. Закон сохранения массы и уравнения количества движения и момента количества движения .......24
5.2. Внешние силы и напряжения ..........25
5.3. Законы движения Коши ................28
Глава II. ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ............30
6. Вводное изложение основных идей метода конечных элементов ................30
6.1. Одномерная задача......................31
6.2. Двумерная задача ......................36
7. Конечноэлементные модели функций общего вида 38
7.1. Некоторые предварительные сведения из математики ....................38
7.2. Замечания об обозначениях .......43
7.3. Дискретная модель области ............44
Совместимость .................47
Кратность граничных точек............48
7.4. Дискретная модель функции F ..........48
7.5. Примеры ..............................51
Пример 7.1. Скалярная функция на двумерной области................51
Пример 7.2. Преобразования локальных координат ........................55
Пример 7.3. Векторные поля .... 57
Пример 7.4. Тензорные поля .... 59
Пример 7.5. Линейная интерполяция . 60
8. Представления высшего порядка ............61
8.1. Общие свойства моделей высшего порядка 61
8.2. Примеры ............................64
Пример 8.1. Представление второго порядка............................64
Пример 8.2. Эрмитова интерполяция ..... 65
9. Теория сопряженных аппроксимаций .... 66
9.1. Сопряженные пространства и биортогональные базисы ............................66
9.2. Сопряженные подпространства ..........68
Скалярные произведения и нормы . . 72
Аффинные преобразования ..........72
Резюме . .......................73
9.3. Наилучшая аппроксимация ............74
Обобщение ........................76
9.4. Некоторые свойства сопряженных аппроксимаций ..................................77
Моменты и объемы ..................78
9.5. Линейные операторы ..................79
Задачи о собственных значениях ... 81
Производные сопряженных аппроксимаций ..............................82
9.6. Приложения к конечноэлементным аппроксимациям ............................85
Фундаментальные свойства конечноэлементных аппроксимаций............87
9.7. Обобщенные сопряженные переменные . . 91
9.8. Примеры ..............................94
Пример 9.1. Механическая работа . . 94
Пример 9.2. Вычисление напряжений . . 95
Пример 9.3. Двумерные сопряженно-аппроксимационные функции .... 98
Пример 9.4. Кусочно-линейные аппроксимационные функции одной переменной ..........................101
Пример 9.5. Полиномы, аналитические функции..........................106
10. Конечные элементы и интерполяционные функции ........................................107
10.1. Операторы в нормированных пространствах ..................................108
Последовательности Коши и полнота 109
Линейные операторы ................112
Нелинейные операторы ...... . 118
10.2. Конечноэлементные аппроксимации . . 122
10.3. Конечноэлементные модели операторных уравнений ............................135
Метод Ритца ........................136
Метод взвешенных невязок............139
Метод Галёркина ....................142
Метод наименьших квадратов ..........143
10.4. Примеры конечных элементов .... 144
10.4.1. Симплексные модели ..........145
10.4.2. Комплексные модели ..........152
10.4.3. Сложные модели ..............154
10.4.4. Изопараметрические элементы . . 157
10.4.5. Примеры элементов высших порядков 160
10.4.6. Дополнительные замечания о конечноэлементных моделях............165
11. Некоторые приложения ....................169
11.1. Конечные элементы в пространственно-временной области ....................169
Двумерные задачи ..................170
Одномерные волны ..................171
Устойчивость ..................174
Динамические системы ..............174
11.2. Конечные элементы в комплексной плоскости. Уравнение Шрёдингера ............176
11.3. Одно нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных ..........17В
11.4. Кинетическая теория газов. Уравнение Больцмана ............................181
Неустановившееся куэттовское течение . 184
Глава III. ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ КОНЕЧНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ ............189
12. Предварительные сведения из термодинамики . 189
12.1. Основные определения и понятия . . 189
12.2. Сохранение энергии. Первый закон . . 192
12.3. Энтропия. Неравенство Клаузиуса — Дюгема ................................195
12.4. Свободная энергия и внутренняя диссипация ................................197
12.5. Термодинамические процессы ..........198
13. Термомеханика конечного элемента............199
13.1. Кинематика конечного элемента . . . 199
13.2. Энергия конечных элементов ..........203
Кинетическая энергия ..............204
Внутренняя энергия ........205
Механическая мощность ..............206
Скорость нагрева ..................208
13.3. Сохранение энергии в конечном элементе 208
13.4. Общие уравнения движения конечного элемента 209
13.5. Глобальные формы уравнения движения. 210
13.6. Уравнения движения в координатах общего вида ..............................213
13.7. Представления высших порядков .... 216
13.8. Энтропия и теплопередача в конечных элементах ................................218
14. Уравнения состояния ......................221
14.1. Вводные замечания ....................222
14.2. Физическая допустимость, детерминизм, равноприсутствие ......................223
14.3. Локальное действие ..................225
14.4. Независимость от системы отсчета и симметрия ..............................228
Другие правила ......................232
14.5. Определяющие функционалы для конечных элементов ........................233
Глава IV. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ ................................235
15. Основы теории упругости ..................235
15.1. Вводные замечания ..................235
15.2. Упругие материалы ..................236
15.3. Гип ер упругость, термодинамические основы ......................238
15.4. Полные потенциалы ..............243
15.5. Функция энергии деформации .... 244
Анизотропные материалы ............244
Полиноминальное представление . . . 246
Изотропные материалы ..............247
Несжимаемые тела ..................249
Условия интегрируемости ............252
16. Конечные элементы упругих тел ..............253
16.1. Нелинейные жесткостные соотношения ...... 253
Симплексные модели..................257
Глобальные формы ................259
16.2. Несжимаемые материалы................263
Симплексные модели ................269
16.3. Обобщенные силы и напряжения .... 271
Аппроксимации ....................274
Напряжения ........................279
16.4. Формулировки с использованием потенциальной энергии .............280
16.5. Уравнения в приращениях ............283
Общие уравнения ..................284
Упругие элементы ..................288
Приращение жесткостей ............289
Несжимаемые элементы ..............291
16.6. Криволинейные координаты ............292
17. Численные решения нелинейных уравнений . 293
17.1. Вводные замечания....................293
Геометрические понятия ............294
Методы решения ....................296
17.2. Неподвижные точки и сжимающие отображения ..............................297
17.3. Методы спуска и градиентной минимизации ..................................303
Покоординатные методы ............304
Метод наискорейшего спуска .... 306
Методы сопряженных градиентов . . 308
Метод переменных матриц ..........310
17.4. Метод Ньютона—Рафсона................312
17.5. Метод последовательных нагружений . . 317
Модификации ......................322
Численное интегрирование ..........323
17.6. Методы поиска ........................326
Симплексный метод поиска ..........326
Методы случайного поиска ..........330
18. Некоторые приложения......................332
18.1. Плоское напряженное состояние . ......332
Упругие мембраны ..................332
Мембранные элементы ..............336
Растяжение упругого листа ..........339
Лист с круговым отверстием .... 345
Одноосное растяжение листа с круговым отверстием........................348
Влияние вида функции энергии деформации ..............................351
Раздувание упругих мембран ...» 354
18.2. Несжимаемые упругие тела вращения . . 357
Конечноэлементные аппроксимации . . 358
Упрощенные формы ................359
Задача о бесконечном цилиндре ... 361
Толстостенный сосуд ........ 368
Изгиб и раздувание круговой пластины . 371
18.3. Конечная плоская деформация .... 375
Конечноэлементные приближения . . 376
Чистый и обобщенный сдвиг .... 376
Плоское тело с круговым отверстием . 379
Глава V. НЕЛИНЕЙНОЕ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ СПЛОШНЫХ СРЕД................381
19. Термомеханика материалов с памятью . . . 381
19.1. Термодинамика простых материалов . . 382
Свойства гладкости функционалов . . 384
Затухающая память ................387
Некоторые основные свойства термомеханически простых материалов . . . 388
19.2. Частные формы уравнений состояния для простых материалов ..................392
Термореологически простые материалы . 397
Термоупругость ......................401
20. Конечноэлементные модели нелинейного термомеханического поведения сплошных сред ... 404
20.1. Конечные элементы материалов с памятью 405
20.2. Применение к случаю термореологически простых материалов ....................408
Пример. Неустановившееся поведение термовязкоупругого толстостенного цилиндра ........413
20.3. Приложения к теории нелинейной связанной термоупругости ....................418
Пример. Нелинейное термоупругое полупространство ......................419
Список литературы .....................................427
Именной указатель ..........................................451
Предметный указатель........................................456
