Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. - Ереван: Издательство АН Армянской ССР, 1979, - 235 с.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся в области вычислительной математики и уравнений математической физики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов...............5
Глава I. Некоторые сведения из функционального анализа и теории краевых задач 7
§ 1. Некоторые сведения о функциональных пространствах . . 7 1. Лилейное нормированное пространство (7). 2. Пространства функции (10). 2.1. Пространства непрерывных функций (10). 2.2. Пространства L2 и W. 3. Границы областей и множества функций из них (12). 4. Некоторые пояснения к приведенным понятиям (13).
§ 2. Скалярное произведение, формула интегрирования по частям, билинейная форма .........15
§ 3. О продолжении функции.........13
1. Продолжение функции через прямую линию (18). 2. Приграничная система координат (21). 3. Продолжение функции через гладкую границу (21). 4. Продолжение функции через кусочно-гладкую границу (22).
§ 4. Некоторые неравенства для функции......21
1. Неравенства для функции W (24). 2. Неравенства для функции (27). 3. Замечание к доказательствам (28).
§ 5. Краевые задачи для линейных эллиптических уравнении второго порядка. . ...........20
1. Краевые задачи (29). 2. Обобщенное решение первой краевой задачи (32). 3. Обобщенное решение третьей краевой задачи (34). 4. Достаточные условия единственности решений краевых задач (34) 5. Вспомогательные неравенства (36).
§ 6. Краевые задачи для систем уравнений и уравнении высокого порядка 36 1. Система уравнении плоской задачи теории упругости (36). 2. Уравнения четвертого порядка (39).
§ 7. Краевые задачи для линейных параболических уравнений второго порядка ............43
§ 8. Некоторые неравенства для функций из пространства Wp(Q). ....44
§ 9. Операторы в конечномерных пространствах и матрицы . . 50
1. Скалярное произведение векторов и функционалы (50). 2. Операторы и матрицы (31). 3. Метод простых итераций (55). 3.1. Ускорение сходимости в методе простых итераций (56). 4. Обобщенный метод простых итераций (59).
Глава 2 Аналитический аппарат для построения сеточных уравнений. Теоремы аппроксимации............61
§ 1. Сетки, сеточные области и восполнения функций ... 61
1. Одномерный случай (64). 2. Двумерный случай, полилинейное восполнение (65). 3. Кусочно-линейное восполнение (67). 4. Эрмитово восполнение (70).
§ 2. Некоторые неравенства для восполнений.....71
1. Сеточные аналоги норм пространств С, L*, (71). 2. Неравенства для кусочно-линейных восполнений (73). 2.1. Оценка кусочно-линейного восполнения в норме пространства С (74).
3. Неравенства для полилинейного восполнения (77). 4. Неравенства для эрмитова восполнения (78).
§ 3. Теоремы аппроксимации.........80
1. Аппроксимация функций, заданных на отрезке (80). 2. Аппроксимация кусочно-линейными функциями в двумерных областях (82). 3. Аппроксимация полилинейными восполнениями (89). 4. Аппроксимация с помощью эрмитовых восполнений (91).
§ 4. Теоремы аппроксимации (продолжение).....92
1. Модуль непрерывности функции W (92). 2. 06 осреднении функций (94). 3. Теоремы аппроксимации (97). 4. Аппроксимация с помощью осреднений кусочно-линейных воспоминаний (100). 3. Еще об осреднении функций (101). I лава 3. Построение и исследование вариационно-разностных схем для уравнении второго порядка...........103
§ 1. ВРС на нерегулярных сетках........103
1. Третья краевая задача для уравнения Пуассона (103). 2. Первая краевая задача для уравнения Пуассона (107). 3. ВРС для уравнении с переменными коэффициентами (10В). 4. Неоднородные краевые условия (111), 5. О матричноп записи ВРС (112). 6. Замечания к построению ВРС (113).
§ 2. О разрешимости и сходимости ВРС......114
1. Случай постоянных коэффициентов (114). 2. Переменные коэффициенты, третья краевая задача (116). 3. Переменные коэффициенты, первая краевая задача (118). 4. Задачи с неоднородными краевыми условиями (118). 5. Об обусловленности матриц ВРС (120). 6. О точности полученных оценок (122).
§ 3. ВРС на регулярных сетках для третьей краевой задачи . . 123
1. Построение ВРС (124). 2. Оценка скорости сходимости (126). 3. Об обусловленности (126).
§ 4. Улучшение обусловленности ВРС на регулярной сетке . . 128
1. Формулировка приближенной задачи (128). 2. Скорость сходимости (129). 3. Обусловленность (130).
§ 5. ВРС на регулярной сетке с сумматорной аппроксимацией . . 132
1. Одномерный пример (132). 2. Построение ВРС (134). 3!" Вспомогательные леммы (138). 4. Разрешимость системы сеточных уравнении (145). 5. Оценка скорости сходимости (146). 6. О решении сеточных уравнений (147).
§ 6. Сходимость в норме пространства L2......143
1. Постановка задачи (148). 2. Доказательство основного неравенства (149). 3. Сходимость в L2 ВРС из § 4 (151). 4. Сходимость в L2 ВРС для задач с неоднородными краевыми условиями (.162). 5. О точности оценок в норме (153).
§ 7. ВРС па регулярной сетке для первой краевой задачи . . .153 1. Грубая аппроксимация граничного условия (154). 2. ВРС с точным учетом краевого условия (156). 3. Скорость сходимости (156). 4. Об обусловленности (160). 5. Некоторые упрощения (162).
§ 8. Вопросы численной реализации ВРС......165
Глава 4. ВРС для уравнений второго порядка: дальнейшее исследование, схемы повышенного порядка точности.......166
§ 1. ВРС для задач, имеющих лишь обобщенное решение, оценки скорости сходимости в различных метриках......168
1. Скорость сходимости ВРС для краевых задач, имеющих лишь обобщенное решение (168). 2. Оценки скорости сходимости в различных метриках (170).
§ 2. О разрешимости и сходимости ВРС для несамосопряженных краевых задач...........171
1. Лемма Л. В. Канторовича (172). 2. Разрешимость и оценка скорости сходимости ВРС (173). 3. ВРС с сумматорной аппроксимацией (177).
§ 3. Скорость сходимости ВРС в сеточных нормах для задач с «гладкими» исходными данными........177
1. Уравнение Пуассона (178). 2. Уравнения с переменными коэффициентами (181). 3. Доказательство неравенства (16). (183). 4. Некоторые следствия (189). § 4. О неулучшаемости оценок скорости сходимости ВРС . . . 190 1. Наводящие соображения (190). 2. О точности оценок и N-поперечниках (192),
§ 5. ВРС повышенного порядка точности......193
1. Кусочно-полиномиальные восполнения на нерегулярной сетке (194). 2. Доказательство теоремы аппроксимации (194).
§ 6. ВРС повышенного порядка точности на регулярной сетке . . 198
1. Построение восполнения (198). 2, Доказательство теорем аппроксимации (200). 3. Построение ВРС (203). 4. Об обусловленности (204). 5. Доказательство неравенств (17) (205).
§ 7. ВРС на основе полилинейных восполнений в трехмерных областях ....209
§ 8. ВРС для линейных параболических уравнений второго порядка ....211
1. Построение восполнений (211). 2. Теоремы аппроксимации (212). 3. Построение ВРС (214). 4. Оценки скорости сходимости ВРС в пространстве L(Q) (215). 5. Оценка скорости сходимости ВРС в пространстве L(Q) (219). 6. О неулучшаемости оценок скорости сходимости ВРС (222). 7. Реализация вычислений по неявным схемам (224).
Глава 5. Итерационные методы решения ВРС.......226
§ 1. Метод простых итераций.........226
1. Сходимость и оценка скорости сходимости (227). 2. Метод простых итераций (продолжение) (230). 3. Замечание к п. 7 из §4.8(231).
§ 2. Некоторые реализации обобщенного метода простых итераций .... 231
1. Использование отображения на прямоугольник (231). 2. Метод фиктивных областей для ВРС повышенного порядка точности (235). 2.1. Доказательство неравенства (16) (237). 2.2. Доказательство леммы 2 (237).
§ 3. Метод переменных направлении.......240
§ 4. Обобщенный метод простых итераций для ВРС на регулярной сетке для первой краевой задачи.......246
1. Описание итерационного процесса (247). 2. Сходимость метода итераций (246).
Глава 6. ВРС, учитывающие особенности решений краевых задач . . . 252
§ 1. О решениях краевых задач с особенностями.....252
1. Уравнения с разрывными коэффициентами (252). 2. Краевые задачи в областях с кусочно-гладкой границей (257). 3. Об особенностях, возникающих при пересечении линии разрыва коэффициентов и границы области (262). 4. О точности ВРС для задачи (16), (17) (265).
§ 2. ВРС для задач с разрывными коэффициентами .... 265
§ 3. ВРС с аддитивным выделением функций особенности . . . 267 1. Описание метода. Оценки скорости сходимости (267). 2. О методе решения (269). 3. О вычислении интегралов (271).
§ 4. Сгущение сетки вблизи особых точек......273
1. Описание сеточной области (273) 2. Построение ВРС и оценка скорости сходимости (274) 3 Об обусловленности (276)
§ 5. ВРС для трехмерной осесимметричной задачи
Глава 7. ВРС для систем уравнений
Комментарии
Литература
Предметный указатель
