Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. Пер. с англ. Л.З. Румынского, Б.Л. Румынского. - М.: Изд-во иностр. л-ры, 1963.
Эта небольшая книжка знакомит читателя с математическим обоснованием и исследованием методов численного анализа. Наряду с разработкой новых эффективных методов приближенного решения уравнений автор проводит глубокие и тонкие исследования сходимости уже известных методов (метода Ньютона, метода Стеффенсена и др.). Большой интерес представляет предлагаемый автором новый способ сравнения численных методов решения уравнений, основанный на введенном им «индексе эффективности».
Исследования А. М. Островского касаются и такого важного для практики вопроса, как округление при вычислениях; здесь автором также получены интересные результаты.
В основном книга рассчитана на математиков-вычислителей. Представителям же других отраслей математики она, по-видимому, будет интересна как образец проникновения «чистой» математики в область «прикладной» математики. Книга окажется безусловно полезной также физикам и инженерам, применяющим численные методы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчиков ..................................5
Предисловие автора........................................7
Глава 1. Введение. Остаточные члены интерполяционных формул ..........9
Лемма о функциях с несколькими корнями ... 9
Теорема об отношении функций, имеющих общие корни ........10
Интерполирующие функции...........11
Общий вид остаточного члена интерполяционной формулы ..............12
Интерполяционный многочлен Эрмита......13
Глава 2. Обратная интерполяция. Производные обратной
функции. Один узел интерполяции.......15
Понятие об обратной интерполяции.......15
Теорема Дарбу о значениях производной .... 16
Производные обратной функции.........17
Локализация корня по одному значению функции 19
Глава 3. Regula falsi и метод секущих..........21
Определение regula falsi............21
Применение обратной интерполяции ..............22
Геометрическое толкование. Условия Фурье ... 24
Метод секущих.................26
Единицы Горнера и индекс эффективности .... 27
Правило округления ............................28
Локализация корня с помощью regula falsi ... ЗО
Примеры вычислений по regula falsi......32
Глава 4. Итерация....................35
Критерий сходимости итерации ..................35
Точки притяжения и отталкивания.......35
Улучшение сходимости.............37
Глава 5. Дальнейшее исследование итераций. Кратные корни 42
Итерации посредством монотонных функций ... 42
Кратные корни ..................................44
Связь regula falsi с теорией итерации......47
Глава 6. Метод Ньютона.................49
Идея метода Ньютона..............49
Применение обратной интерполяции ..............50
Сравнение метода секущих с методом Ньютона . . 51
Глава 7. Фундаментальные теоремы существования для метода Ньютона..................52
Оценки ошибок a priori и a posteriori......52
фундаментальные теоремы существования .... 52
Глава 8. Аналог метода Ньютона для кратных корней ... 60
Глава 9. Границы Фурье при итерациях Ньютона .... 64
Глава 10. Границы Данделена при итерациях Ньютона ... 69
Глава 11. Три узла интерполяции.............77
Интерполяция дробно-линейными функциями ... 77
Два совпадающих узла интерполяции......78
Оценка погрешности..............79
Применение в итерационном процессе......81
Глава 12. Линейные разностные уравнения.........83
Неоднородные и однородные разностные уравнения 83
Общее решение однородного уравнения.....84
Лемма о делении степенных рядов.......86
Асимптотическое поведение решений уравнения (12.1)....88
Асимптотическое поведение ошибок при итерациях по методу секущих.....91
Теорема о корнях уравнений некоторого класса . 93
Глава 13. n различных узлов интерполяции........95
Оценки погрешностей.............95
Итерации с n различными узлами интерполяции 96
Исследование корней характеристического многочлена ...............98
Глава 14. n+1 совпадающий узел интерполяции и тейлоровское разложение корня............105
Постановка задачи............ . 105
Одна теорема об обратной функции и конформном отображении .................105
Теорема о погрешностях тейлоровской аппроксимации корня..................109
Исследование условий теоремы 14.2..........110
Глава 15. Нормы векторов и матриц...........114
Глава 16. Две теоремы о сходимости произведений матриц . 121
Глава 17. Одна теорема о расходимости произведений матриц 124
Глава 18. Характеристика точек притяжения и отталкивания при итерациях с несколькими переменными ... 129
Приложения
Приложение I. Непрерывность корней алгебраических уравнений ..................137
Приложение II. Относительная непрерывность корней алгебраических уравнений.........143
Приложение III. Явная формула для n-й производной обратной функции.............154
Приложение IV. Аналог метода секущих для случая двух уравнений с двумя неизвестными .... 159
Приложение V. Улучшение итераций по методу Стеффенсена.................161
Приложение VI. Алгоритм Ньютона в случае квадратичных многочленов...............167
Приложение VII. Некоторые модификации и улучшения метода Ньютона..............171
Приложение VIII. Округление при обратной интерполяции . 177
Приложение IX. Улучшение итераций со сверхлинейной сходимостью...............188
Приложение X. Нахождение корней уравнения f(z)=0 по коэффициентам разложения 1 /f(z) . . . . 193
Приложение XI. Непрерывность собственных значений как
функций от элементов матрицы.....206
Библиографические примечания..............209
Указатель.........................214
