Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - М., 2001. — 576 с.
Справочник содержит решения более 2000 линейных уравнений и задач математической физики. Рассматриваются нестационарные и стационарные уравнения с постоянными и переменными коэффициентами (параболического, гиперболического и эллиптического типов). Описан ряд новых решений линейных уравнений и краевых задач. Особое внимание уделено уравнениям и задачам общего вида, которые зависят от произвольных функций. Помимо уравнений второго порядка рассматриваются также уравнения более высоких порядков. В целом справочник содержит больше уравнений и задач математической физики, чем любые другие книги.
Приведены решения ряда задач, встречающихся в различных областях механики, теоретической физики и химической технологии (в теории тепло- и массопереноса, теории волн, акустики, теории упругости, гидродинамике, электростатике, квантовой механике и др. ).
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов,
инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях математики, физики, механики, теории управления и инженерных наук.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............................................................10
Основные обозначения .....................................................11
Введение. Некоторое определения, формулы, методы и решения...............13
0.1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка ..................13
0.1.1. Уравнения с двумя независимыми переменными ............................................13
0.1.2. Уравнения со многими независимыми переменными......................................15
0.2. Основные задачи математической физики .................................................16
0.2.1. Начальные и граничные условия. Задача Кош и. Краевые задачи ....................16
0.2.2. Первая, вторая, третья и смешанная краевые задачи................................18
0.3. Свойства и частные решения линейных уравнений .......................................18
0.3.1. Линейные однородные уравнения.......................................................18
0.3.2. Линейные неоднородные уравнения....................................................21
0.4. Метод разделения переменных.............................................................22
0.4.1. Общее описание метода разделения переменных............................................22
0.4.2. Решение краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов........25
0.5. Метод интегральных преобразований............................28
0.5.1. Основные интегральные преобразования ..............................................28
0.5.2. Преобразование Лапласа и его применение в математической физике............29
0.5.3. Преобразование Фурье и его применение в математической физике ..............32
0.6. Представление решения задачи Кош и через фундаментальное решение....................33
0.6.1. Задача Коши для уравнений параболического типа ........................................33
0.6.2. Задача Коши для уравнений гиперболического типа........................................34
0.7. Неоднородные краевые задачи с одной пространственной переменной. Представление
решения через функцию Грина.................................................35
0.7.1. Задачи для уравнений параболического типа .....................................35
0.7.2. Задачи для уравнений гиперболического типа ....................................36
0.8. Неоднородные краевые задачи со многими пространственными переменными. Представление решения через функцию Грина...................37
0.8.1. Задачи для уравнений параболического типа .......................................37
0.8.2. Задачи для уравнений гиперболического типа ....................................39
0.8.3. Задачи для уравнений эллиптического типа.........................................39
0.8.4. Сопоставление структуры решений краевых задач для уравнений различного типа.............40
0.9. Построение функций Грина. Общие формулы и соотношения..................................41
0.9.1. Функции Грина краевых задач, описываемых уравнениями различного типа в
областях конечных размеров...................................................................41
0.9.2. Функции Грина, допускающие неполное разделение переменных ..................42
0.9.3. Построение функций Грина с помощью фундаментальных решений..............44
0.10. Принципы Дюамеля в нестационарных задачах......................................................45
0.10.1. Задачи для линейных однородных уравнений................................................45
0.10.2. Задачи для линейных неоднородных уравнений............................................47
0.11. Преобразования, упрощающие начальные и граничные условия ............................48
0.11.1. Преобразования, приводящие к однородным граничным условиям ..............48
0.11.2. Преобразования, приводящие к однородным начальным и граничным условиям.......................48
1. Уравнения параболического типа с одной пространственной переменной............50
1.1. Уравнения с постоянными коэффициентами ...................................50
1.2. Одномерное уравнение теплопроводности с осевой и центральной симметрией ... 69
1.3. Уравнения с произвольными параметрами, содержащие степенные функции ..........87
1.4. Уравнения с произвольными параметрами, содержащие экспоненциальные функции 106
1.5. Уравнения с произвольными параметрами, содержащие гиперболические функции 114
1.6. Уравнения с произвольными параметрами, содержащие логарифмические функции 118
1.8. Уравнения, содержащие произвольные функции .................................123
1.7. Уравнения с произвольными параметрами, содержащие тригонометрические функции..119
1.9. Уравнения специального вида .................................147
2. Уравнения параболического типа с двумя пространственными переменными .......152
2.1. Уравнение теплопроводности ....................................152
2.2. Уравнение теплопроводности с источником .....................176
2.3. Другие уравнения.............................................184
3. Уравнения параболического типа с тремя и более пространственными переменными........190
3.1. Уравнение теплопроводности ...................................190
3.2. Уравнение теплопроводности с источником .................233
3.3. Другие уравнения с тремя пространственными переменными ................................239
3.4. Уравнения с n пространственными переменными ...................................244
4. Уравнения гиперболического типа с одной пространственной переменной..........254
4.1. Уравнения с постоянными коэффициентами .........................................254
4.2. Одномерное волновое уравнение с осевой и центральной симметрией ....................268
4.3. Уравнения с произвольными параметрами, содержащие степенные функции ..........279
4.4. Уравнения, содержащие первую производную по t ..................................289
4.5. Уравнения, содержащие произвольные функции ...................................300
5. Уравнения гиперболического типа с двумя пространственными переменными .......305
5.1. Волновое уравнение...............................................................305
5.2. Неоднородное волновое уравнение ...............................317
5.3. Уравнение вида ..............................................323
5.4. Телеграфное уравнение ............................336
5.5. Другие уравнения с двумя пространственными переменными..................................348
6. Уравнения гиперболического типа с тремя и более пространственными переменными..............350
6.1. Волновое уравнение .......................................350
6.2. Неоднородное волновое уравнение ............................366
6.3. Уравнение вида .................................................368
6.4. Телеграфное уравнение ........................385
6.5. Другие уравнения с тремя пространственными переменными ..................................402
6.6. Уравнения с n пространственными переменными .......................................404
7. Уравнения эллиптического типа с двумя пространственными переменными . . . 414
7.1. Уравнение Лапласа ............................................................414
7.2. Уравнение Пуассона .............................................................423
7.3. Уравнение Гельмгольца...........................................................434
8. Уравнения эллиптического типа с тремя и более пространственными переменными........467
8.1. Уравнение Лапласа ..............................................................467
8.2. Уравнение Пуассона...............................................................474
8.3. Уравнение Гельмгольца ...........................................................492
8.4. Другие уравнения с тремя пространственными переменными ...........................520
8.5. Уравнения с п пространственными переменными ........................................523
9. Дифференциальные уравнения с частными производными высших порядков . . 527
9.1. Уравнения с частными производными третьего порядка ..................................527
9.2. Одномерные нестационарные уравнения четвертого порядка...............................528
9.3. Пространственные нестационарные уравнения четвертого порядка..........................537
9.4. Стационарные уравнения четвертого порядка ..........................................544
9.5. Линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами ................553
9.6. Линейные уравнения высших порядков с переменными коэффициентами................563
Список литературы ......................................................................572
