Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными (3-е изд.). - М., 1961. - 401 с.
Автор этой книги является основоположником современной теории дифференциальных уравнений. Основу книги составили лекции, прочитанные студентам-математикам механико-математического факультета Московского государственного университета в тридцатых годах двадцатого столетия. В книге рассматриваются три типа дифференциальных уравнений в частных производных: эллиптические, параболические и гиперболические. Для каждого типа исследуются вопросы существования и единственности решения и его непрерывной зависимости от заданных начальных и граничных условий.
Книга может быть рекомендована студентам математических и естественно-научных специальностей, в которых требуется знать и использовать уравнения в частных производных.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию..............................5
Из предисловия к первому изданию............................5
Из предисловия ко второму изданию . .......................6
Глава I. Введение. Классификация уравнений ...... 7
§ 1. Определения. Примеры............... 7
§ 2. Задача Коши. Теорема Ковалевской ......... 22
§ 3. Обобщение задачи Коши. Понятие о характеристике ...38
§ 4. О единственности решения задачи Коши в области неаналитических функций..............49
§ 5. Приведение к каноническому виду в точке и классификация уравнений второго порядка с одной неизвестной функцией ..................59
§ 6. Приведение к каноническому виду уравнения с частными производными второго порядка по двум независимым переменным в окрестности точки......63
§ 7. Приведение к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производнымл первого порядка по двум независимым переменным .........73
Глава II. Гиперболические уравнения...........84
Раздел I. ЗАДАЧА КОШИ В ОБЛАСТИ НЕАНАЛИТИЧРХКИХ ФУНКЦИЙ
§ 8. Корректность постановки задачи Коши.......84
§ 9. Понятие об обобщенных решениях........88
§ 10. Задача Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными..............92
§ 11. Задача Коши для волнового уравнения. Теорема о единственности решения ................102
§ 12. Формулы, дающие решение задачи Коши для волнового уравнения...................107
§ 13. Исследование формул, дающих решение задачи Коши 113
§ 14. Преобразования Лоренца..............118
§ 15. Математические основы специальной теории относительности .....................128
§ 16. Обзор основных фактов в теории задачи Коши и некоторые исследования для общих гиперболических уравнений .................... 131
Раздел II. КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ
§ 17. Введение......................145
§ 18. Единственность решения смешанной задачи.....148
§ 19. Непрерывная зависимость решения от начальных условии .....................151
§ 20. Метод Фурье для уравнения струны ........157
§ 21. Обший метод Фурье (предварительное рассмотрение) 163
§ 22. Общие свойства собственных функций и собственных значений..................168
§ 23. Обоснование метода Фурье.............191
§ 24. Применение функции Грина к задаче о собственных значениях и к обоснованию метода Фурье......203
§ 25. Изучение колебаний мембраны ...........215
§ 26. Дополнительные сведения о собственных функциях и о разрешимости смешанной задачи для гиперболических уравнений...................225
Глава III. Эллиптические уравнения............237
§ 27. Введение........ ..............237
§ 28. Свойство максимума и минимума и его следствия ....... 239
§ 29. Решение задачи Дирихле для круга.........244
§ 30. Теоремы об основных свойствах гармонических функций 253
§ 31. Доказательство существования решения задачи Дирихле 262
§ 32. Внешняя задача Дирихле..............272
§ 33. Вторая краевая задача ...............276
§ 34. Теория потенциала.................280
§ 35. Решение краевых задач с помощью потенциалов ........297
§ 36. Метод сеток для приближенного решения задачи Дирихле...............316
§ 37. Обзор некоторых результатов для более общих эллиптических уравнений..........324
Глава IV. Параболические уравнения...........337
§ 38. Первая краевая задача. Теорема о максимуме и минимуме .......................337
§ 39. Решение первой краевой задачи для прямоугольника методом Фурье..............340
§ 40. Задача Коши....................344
§ 41. Обзор некоторых дальнейших исследований уравнений параболического типа ........ 349
Дополнение....................... 353
§ 42. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом сеток.............353
§ 43. Замечания о методе сеток ....367
