Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений

Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М., 1964. - 464 с.
Монография состоит из двух частей. Первая посвящена систематическому изложению разработанного автором вычетного метода и его применению к решению широких классов задач дифференциальных уравнений, не поддающихся решению известными методами. Во второй части дается новый метод, названный методом контурного интеграла, в применении к исследованию весьма общих линейных смешанных задач дифференциальных уравнений.
Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов механико-математических и физико-математических факультетов университетов и пединститутов, научных и инженерно-технических работников, имеющих дело с дифференциальными уравнениями в частных производных.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............... .... 7
Введение ......... .............. 11
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ВЫЧЕТНЫЙ МЕТОД
Глава I. Обобщенная теорема Дини.......... 33
§ 1. Формула Лагранжа и система интегральных уравнений .............................33
§ 2. Обобщенная теорема существования..............39
§ 3. Теоремы существования..........................41
Глава II. Асимптотические представления решений линейных дифференциальных уравнений, зависящих от комплексного параметра ............... 49
§ 1. Построение формальных решений систем уравнений первого порядка................ 49
§ 2. Асимптотические представления решений системы уравнений первого порядка ........... 75
§ 3. Асимптотические представления решений одного уравнения высшего порядка.......... 88
Глава III. Основные формулы разложения вектор-функций .......................... 97
§ 1. Разложение произвольной вектор-функции, связанное с граничной задачей для системы уравнений первого порядка с кусочно-гладкими коэффициентами ...................... 97
§ 2. Основная теорема о разложении произвольных вектор-функций в ряды по вычетам решений граничных задач с параметром для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами ...... 144
§ 3. Вывод формулы решения спектральной задачи для одного уравнения высшего порядка с разрывными коэффициентами.............. 160
Глава IV. Вычетный метод и формулы решений одномерных смешанных задач для систем уравнений с разрывными коэффициентами....................168
§ 1. Класс смешанных задач с граничным условием, содержащим производные по времени ....... 168
§ 2. Класс смешанных задач с граничным условием, не содержащим производных по времени ..... 195
§ 3. Смешанная задача с разделяющимися переменными ....................... 216
Глава V. Вычетный метод решения многомерных смешанных задач..................... 225
§ 1. Схема решения многомерных смешанных задач . . 226
§ 2. Вычетный метод разделения переменных . . . 229
§ 3. Формула разложения произвольной функции в ряд по вычетам решения одного класса многомерных спектральных задач ......... 238
§ 4. Задачи подземной гидромеханики ................243
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРАЛА
Глава VI. Метод контурного интеграла в одномерных смешанных задачах для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами .............. 252
§ 1. Постановка задач для уравнений, содержащих производные по времени только первого порядка . . . 252
§ 2. Асимптотическое представление решения спектральной задачи вне δ-окрестности спектра .... 254
§ 3. Решение смешанной задачи (6.1.1) —(6.1.3) при условии параболичности в смысле И. Г. Петровского 279
§ 4. Формула разложения произвольной функции в ряд по вычетам спектральной задачи. Необходимые и достаточные условия корректности смешанной задачи (6.1.1) — (6.1.3)............. 313
§ 5. Решение смешанных задач для уравнений, содержащих производные по времени второго порядка. Необходимые и достаточные условия корректности 320
Глава VII. Применение метода контурного интеграла к решению одномерных смешанных задач, содержащих в граничных условиях производные по времени, для линейных дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами .....................342
§ 1. Асимптотическое представление решения спектральной задачи вне 6-окрестности спектра...... 342
§ 2. Решение смешанных задач для уравнений, содержащих производные по времени только первого порядка, и условия корректности ..... 369
Глава VIII. Решение многомерной спектральной задачи для одного уравнения эллиптического типа при больших значениях комплексного параметра ......... 382
§ 1. Построение фундаментального1 решения и его оценки...................... 382
§ 2. Формулы скачка для потенциалов простого и двойного слоя.................... 401
§ 3. Решение спектральной задачи для однородного уравнения и его оценки ............. 403
§ 4. Оценка регулярной части функции Грина спектральной задачи .................. 410
Глава IX. Многомерная смешанная задача, содержащая в граничном условии производную по времени для уравнения параболического типа ............. 413
§ 1. Смешанная задача для однородного уравнения при нулевом начальном условии ........... 413
§ 2. Смешанная задача для неоднородного уравнения при ненулевом начальном и однородном граничном условии .................... 418
§ 3. Эффективное решение смешанных задач..... 436
Глава X. Многомерная смешанная задача, содержащая в граничных условиях производную по времени для параболических уравнений с разрывными коэффициентами ....................... 443
§ 1. Смешанная задача и составление соответствующей спектральной задачи .............. 443
§ 2. Построение фундаментального решения спектральной задачи и его оценка............ 445
§ 3. Решение спектральной задачи и его оценка . . . 448
§ 4. Решение смешанной задачи для уравнений с разрывными коэффициентами............. 455
Цитированная литература................ 458

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗