Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Изд. 2-е, перераб. и доп. - М., 1978, - 688 стр.
Книга является существенно переработанным и дополненным результатами последнего десятилетия новым изданием работы того же названия, выпущенной в 1968 г. издательством «Наука». Она посвящена математическим вопросам газовой динамики. В главе 1 излагается теория систем квазилинейных уравнений — основного математического аппарата газовой динамики. Глава 2 содержит рассмотрение основных задач одномерной газовой динамики, а глава 3 — изложение разностных методов газовой динамики. Последняя, четвертая глава посвящена теории разрывных решений систем квазилинейных уравнений.
Оглавление
Предисловие ко второму изданию......................................7
Из предисловия к первому изданию....................................8
Введение ..............................................................9
Глава 1. Основы теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными ... 16
§ 1. Основные определения......................16
§ 2. Характеристические направления системы квазилинейных уравнений 20
1. Производная по направленню (20). 2. Гиперболические системы квазилинейных уравнений (22). 3. Гиперболическая система нелинейных уравнений (25).
§ 3. Инварианты Римана........................27
1. Инварианты полулинейной системы уравнений (27). 2. Системы двух и трех квазилинейных уравнений (30).
§ 4. Преобразования систем квазилинейных уравнений.........31
1. Преобразование систем по решению (31). 2. Преобразование годографа (33). 3. Продолженная система (34).
§ 5. Консервативные системы квазилинейных уравнений........37
1. Определения (37). 2. Законы сохранения газовой динамнкн (38). 3. Потенциал решения консервативной системы квазилинейных уравнений (41).
§ 6. Постановка задачи Коши для системы квазилинейных уравнений гиперболического типа......................43
1. Постановка задачи (43). 2. Разрешимость задачи Коши. Характеристики (44). 3. Область зависимости и область определенности. Понятие о корректности задачи Коши (47). 4. Метод характеристик и обзор результатов (5D). 5. Две леммы (53).
§ 7. Задача Коши для линейной и полулинейной систем........55
1. Существование н единственность решения задачи Кошн в широком смысле (55). 2. Существование классического решения задачи Кошн для линейной системы (59). 3. Некоторые свойства решений линейной и полулинейной систем (60).
§ 8. Задача Коши для системы квазилинейных уравнений........62
1. Оценка роста решения н его производных. Мажорантная система (62). 2. Теоремы единственности н существования решения (65). 3. Некоторые свойства решений задачи Кошн для систем квазилинейных уравнений (70).
§ 9. Задача Коши для одного уравнения................72
1. Одно квазилинейное уравнение (72). 2. Одно нелинейное уравнение (78). 3. Гиперболическая система нелинейных уравнений (80).
§ 10. Поведение производных решения системы квазилинейных уравнений 81
1. Слабый разрыв. Транспортное уравнение (81). 2. Неограниченность производных. Градиентная катастрофа (84). 3. Сильно- н слабо-нелннейные системы квазилинейных уравнений (87).
§ 11. Замечания по поводу смешанной задачи..............94
1. Постановка смешанной задачи для линейной системы (94). 2. Корректность краевых условий для системы квазилинейных уравнений (98).
§ 12. Аналитические методы выделения решений систем дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными........102
1. Исследование совместности переопределенных систем уравнений (102). 2. Решения, характеризуемые дифференциальными связями (109). 3. Решения систем квазилинейных уравнений с вырожденным годографом (114).
§ 13. Групповые свойства дифференциальных уравнений.........119
1. Однопараметрнческая группа Лн (120). 2. Инварианты группы (121). 3. Продолженная группа (124). 4. Группы преобразований, допускаемых системой дифференциальных уравнений (125). 5. Частично инвариантные н инвариантные решения (131).
Глава 2. Классические и обобщенные решения одномерной газовой динамики.........................133
§ 1. Общие замечания о математическом описании движения сжимаемых газов.....................133
1. Газ как сплошная среда (133). 2. Неравновесные состояния н процессы в газах (137). 3. Различные способы описания течения. Эйлеровы н лагранжевы переменные (140). 4. Уравнения состояния газов. Совершенный газ. Газ Ван-дер-Ваальса. Нормальный газ (142).
§ 2. Интегральные законы сохранения. Уравнения гидродинамики одномерных течений..........149
1. Общие предположения о течении сжимаемых газов (149). 2. Законы сохранения массы, импульса и энергии в трехмерном пространстве (150). 3. Интегральные законы сохранения для одномерных течений в эйлеровых координатах (154). 4. Интегральные законы сохранения в лагранжевых координатах (157). 5. Дифференциальные уравнения для одномерных течений (160). 6. Изучение уравнений в эйлеровых координатах. Характеристическая форма. Характеристики (163). 7. Изоэнтропнческое и изотермическое течения. Инварианты Римана (166). 8. Уравнения в лагранжевых координатах. Случай переменной энтропии (169). 9. Уравнения в инвариантах для полнтропного н изотермического газов (172).
§ 3. Изучение простейших плоских одномерных течений........175
1. Общие свойства. Интегрирование в случае y=3 (175). 2. Бегущие волны (волны Римана). Волны сжатия и разрежения (184). 3. Профили в волне Рнмана. Градн ентная катастрофа (189). 4. Задача о поршне. Истечение газа в вакуум (193). 5. Задача с двумя поршнями. Отражение и преломление бегущей волны на контактной границе (198). 6. Замечания по поводу краевых условий для уравнений газовой дннамнкн н иллюстрация нх разрешимости на примере задачи о поршне (203).
§ 4. Разрывы в одномерном течении сжимаемых газов. Ударные волны 204
1. Условия Гюгонно (204). 2. Различные виды разрывов: ударные волны, контактные разрывы. Различные формы условий Гюгонно. Адиабата Гюгонно (206). 3. Адиабата Гюгонно для нормального газа (209). 4. Устойчивые и неустойчивые разрывы. Условия устойчивости и теорема Цемплена (214). 5. Условия Гюгонно для полнтропного газа (218). 6. Условия Гюгонно для изотермического газа (221). 7. Сильные и слабые ударные волны. Сравнение ударной волны и волны сжатия Рнмана (225). 8. Ударный переход для сред с аномальными термодинамическими свойствами (227). 9. Примеры (228).
§ 5. Изучение ударного перехода. Ширина ударной волны.......230
1. Постановка вопроса для нормального газа (230). 2. Свойства кривых
§ 7. Взаимодействие сильных разрывов.................290
1. Набегание ударной волны на границу двух сред (290). 2. Встреча двух ударных волн (293). 3. Соединение ударных воли, идущих в одном направлении (295). 4. Взаимодействие сильных разрывов в изотермическом газе (298).
§ 8. Взаимодействие ударных волн с бегущими волнами........300
1. Взаимодействие ударной волны с бегущей волной в изотермическом газе (301).
2. Асимптотика взаимодействия ударной волны н центрированной волны разрежения (ЗЭЗ). 3. Взаимодействие ударных волн с бегущими в баротропных полнотропных газах (307).
§ 9. Аналитические решения одномерной газовой динамики.......308
1. Общий интеграл нзоэнтропнческого одномерного плоского течения (308).
2. Задачи о взаимодействии элементарных решений (313). 3. Плоские одномерные течения с переменной энтропией. Метод Мартнна (317). 4. Уравнение гидродинамической поверхности (321). 5. Решения уравнений газовой динамики, характеризуемые дифференциальными связями (323). 6. Решение одномерных уравнений газовой динамики с константным произволом (326). 7. Автомодельные решения в лагранжевых координатах (336). 8. Течения с линейным профилем скорости (366).
Глава 3. Разностные методы решения уравнений газовой динамики 338
§ 1. Задача Коши в банаховом пространстве для систем линейных дифференциальных уравнений.....................338
1. Линейные операторы в нормированных пространствах (338). 2. Корректность задачи Кошн в банаховом пространстве для систем линейных дифференциальных уравнений (344). 3. Метод Фурье (348).
§ 2. Основные понятия теории разностных схем............357
1. Разностная задача Кошн (357). 2. Дисперсионный анализ разностной схемы (368). 3. Аппроксимапнонная вязкость и первое дифференциальное приближение разностной схемы (381).
§ 3. Исследование устойчивости разностных схем ...........396
1. Спектральный метод исследования (396). 2. Принцип замороженных коэффициентов и локальный алгебраический метод (399). 3. Метод мажорантных илн априорных оценок (405). 4. Практический подход к проблеме устойчивости вычислений. Применение метода Пикара для подавления неустойчивости (410).
§ 4. Анализ простейших разностных схем...............416
1. Схемы для одного уравнения + аих=0 (417). 2. Схемы "бегущего" счета для уравнений акустики (423). 3. Схема *крест* и неявная схема с весами (424).
4. Схема Лакса (425). 5. Симметричная схема второго порядка точности (схема предиктор — корректор) (426).
§ 5. Методы построения разностных схем для уравнений газовой динамики ...............................427
1. Общие замечания (427). 2. Способы описания газодинамических течений н построения разностных схем (429). 3. Граничные условия в задачах газовой динамнки (430).
§ 6. Метод характеристик.......................432
1. Метод характеристик для гладких течений (432). 2. Метод характеристик в окрестности контактной границы (436). 3. Метод характеристик в окрестности Ударной волны (436).
§ 7. Явные схемы бегущего счета...................439
§ 8. Однородные разностные схемы. Схемы с псевдовязкостью.....444
1. Способы единообразного описання газодинамических течений (444). 2. Разностная схема «крест* для системы уравнений с вязкостью (450). 3. Разностные схемы Лакса, Лакса —Веидрофа, предиктор—корректор (458). 4. Схемы С. К. Годунова н В. Ф. Куропатенко (465). 5. Схемы повышенной точности (475).
§ 9. Схемы в эйлеровых координатах и неявные схемы........478
1. Схемы в эйлеровых координатах (478). 2. Неявные схемы (484).
§ 10. Особенности разностного решения.................496
1. Поведение разностных рещений вблизи разрыва (496). 2. Замечания (502)«
Глава 4. Обобщенные решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа .................. 505
§ 1. Постановка задачи Коши в классе разрывных функций.......505
1. Общие замечания (505). 2. Условия Гюгонно (507). 3. Устойчивые и неустойчивые разрывы. Условия устойчивости (510). 4. Необратимость процессов, описываемых разрывными решениями систем квазилинейных уравнений (519).
§ 2. Одно квазилинейное уравнение .................. 522
§ 3. Система квазилинейных уравнений.................583
1. Вводные замечания (583). 2. Автомодельные решения системы квазилинейных уравнений (584). 3. Задача о распаде произвольного разрыва (594). 4. Пример неединственности автомодельного решения задачи о распаде (600). 5. Задача о распаде для системы двух квазилинейных уравнений (603). 6. Задача Гурса для системы двух квазилинейных уравнений (612). 7. Построение разрывных решений системы двух квазилинейных уравнений (624). 8. Замечания о единственности разрывного решения системы двух уравнений (634). 9. Теорема Глнмма (636). 10. Метод вязкости для системы квазилинейных уравнений. Феномены метода вязкости (644).
§ 4. Приложения общей теории систем квазилинейных уравнений гиперболического типа.........................656
1. Теория «мелкой воды* (656). 2. Плоское установившееся течение сжимаемого газа (659). 3. Химическая сорбция и задачи хроматографии (661). 4. Приложения К дифференциальной геометрии (665). 5. Уравнения магнитной гидродинамики (667).
Литература..............................672
