Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Ч. II, кн. 2. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2001. — 444 с. — (Современная математика — студентам и аспирантам).
Учебник «Курс математического анализа» в двух частях написан на основе лекционного курса, читавшегося автором в Новосибирском государственном университете, и отражает опыт работы кафедры математического анализа по совершенствованию преподавания этого предмета. Дается оригинальное изложение ряда тем, составляющих традиционное содержание курса. Читатель найдет также изложение отдельных интересных вопросов, примыкающих к основному материалу. Часть II, книга 2 учебника предназначена для студентов второго курса математических факультетов университетов. Она может быть полезна преподавателям математики в университетах и в других высших учебных заведениях, где читается математический анализ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 7
Предисловие 9
Глава 1. Введение в математический анализ 11
§ 1. Понятие множества 12
1.1. Множество и его элементы 12
1.2. Логическая символика 14
1.3. Кванторы 16
1.4. Операции над множествами 16
1.5. Прямое произведение множеств 17
§ 2. Функции 19
2.1. Понятие функции или отображения 19
2.2. Образ и прообраз. Накрывающее и взаимно однозначное отображения 20
2.3. Суперпозиция отображений 21
2.4. Обратное отображение 22
2.5. Сужение и продолжение функции 25
2.6. График функции 25
§ 3. Вещественные числа и числовые множества 26
3.1. Алгебраическая структура множества вещественных чисел 27
3.2. Порядковая структура множества К 28
3.3. Расширенная числовая прямая. Промежутки (отрезки) 29
3.4. Абсолютная величина. Положительная и отрицательная части числа 30
§ 4. Точные границы числового множества. Аксиома непрерывности. Натуральные, целые и рациональные числа 32
4.1. Понятия точной верхней и точной нижней границ числового множества. Аксиома непрерывности 33
4.2. Признаки точной верхней и точной нижней границ числового множества. 35
4.3. Свойство монотонности относительно включения точной верхней и точной нижней границ 37
4.4. Множества натуральных, целых и рациональных чисел 38
4.5. Существование квадратного корня 48
4.6. Сокращенные обозначения для суммы и произведения 50
§ 5. Вещественные числовые функции 52
5.1. Алгебраические операции над вещественными функциями. Монотонные функции 52
5.2. График вещественной числовой функции 53
5.3. Точные границы вещественной функции ........... 55
§ 6. Комплексные числа 58
6.1. Понятие комплексного числа. Определение и основные свойства . 58
6.2. Вещественная и мнимая части комплексного числа. Модуль. Сопряженное число 62
6.3. Геометрическое представление комплексных чисел 64
§ 7. Счетные множества 67
7.1. Определение счетного множества 67
7.2. Операции над счетными множествами 71
Задачи 75
Глава 2. Теория предела 81
§ 1. Определение и простейшие свойства предела 82
1.1. Понятие предельной точки числового множества 82
1.2. Определение предела функции на произвольном подмножестве М. 87
1.3. Понятие непрерывной функции 94
1.4. Теорема о предельном переходе в неравенстве. Единственность предела 95
1.5. Существование предела и асимптотическая ограниченность ..... 98
1.6. Теорема о зажатой переменной и ее следствия 100
1.7. Характеристика предельных точек числового множества....... 105
1.8. Понятия непрерывности и предела для комплексных функций . . 107
§ 2. Теоремы об операциях над пределами 109
2.1. Операции с бесконечно малыми 109
2.2. Теоремы об операциях с пределами. Случай конечных пределов. 112
2.3. Правила замены переменной под знаком предела 114
2.4. Теоремы о пределах суммы, произведения и частного. Случай бесконечных пределов 119
§ 3. Признаки существования предела 125
3.1. Теорема о существовании предела монотонной функции 126
3.2. Критерий Коши — Больцано существования конечного предела 130
3.3. Критерий Гейне существования предела 135
3.4. Несчетность множества вещественных чисел К .............. . 137
3.5. Понятие одностороннего предела и классификация точек разрыва функции на отрезке 138
§ 4. Теорема о разрешимости уравнения /(в)=й и ее следствия 143
4.1. Теорема Коши о промежуточных значениях 144
4.2. Теорема о существовании непрерывной обратной функции 147
§ 5. Основные теоремы о непрерывных функциях 151
5.1. Теорема выбора Вейерштрасса 152
5.2. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции 155
5.3. Понятие равномерно непрерывной функции 156
5.4. Топологические отображения отрезков в множество К. 161
