В.К. Романко, Н.Х. Агаханов, В.В. Власов, Л.И. Коваленко. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. - М., 2002. - 256 с.
Задачник обеспечивает практические занятия по курсу "Дифференциальные уравнения и вариационные исчисления". В начале каждого параграфа приводятся решения типовых задач. Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физико-математических, инженерно-физических и экономических специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 6
§ 1. Составление уравнений заданного семейства плоских кривых.
Приближенное изображение интегральных кривых уравнений ... 6
Ответы к задачам §1............................................................................................9
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории. Однородные уравнения..................................................................10
Ответы к задачам § 2............................................................................................16
§ 3. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и
уравнения Риккати................................................................................................19
Ответы к задачам § 3............................................................................................24
§ 4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Замена переменных....................................................................................27
Ответы к задачам §4............................................................................................31
§ 5. Исследование задачи Коши................................................................................32
Ответы к задачам § 5............................................................................................42
§ 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Особые решения....................................................................................44
Ответы к задачам § 6.. ......................................................................................48
Глава 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка 52
§ 7. Основные типы уравнений, допускающие понижение порядка
уравнения..................................................................................................................52
Ответы к задачам § 7............................................................................................62
§ 8. Методы решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера................................................................................65
Ответы к задачам § 8............................................................................................78
§ 9. Методы решения линейных уравнений второго порядка с переменными козффициентами................................................................................88
Ответы к задачам § 9............................................................................................96
§ 10. Теорема Штурма. Граничные задачи........................................................101
Ответы к задачам § 10..........................................................................................107
Глава 3. Линейные системы дифференциальных уравнений 109
§ 11. Методы решения линейных систем уравнений с постоянными ко-
эффициентами..........................................................................................................109
Ответы к задачам § 11..........................................................................................127
§ 12. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами .. 150
Ответы к задачам § 12..........................................................................................154
Глава 4. Автономные системы дифференциальных уравнений 156
§ 13. Поведение фазовых траекторий в окрестности грубых положений
равновесия..................................................................................................................156
Ответы к задачам § 13..........................................................................................164
§ 14. Поведение фазовых траекторий в окрестности негрубых положений равновесия и на всей фазовой плоскости..........................................173
Ответы к задачам § 14..........................................................................................177
§ 15. Устойчивость по Ляпунову положений равновесия................................180
Ответы к задачам § 15..........................................................................................185
§16. Первые интегралы..................................................................................................186
Ответы к задачам § 16..........................................................................................191
Глава 5. Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка 194
§ 17. Линейные однородные уравнения..................................................................194
Ответы к задачам §17..........................................................................................204
§ 18. Квазилинейные и нелинейные уравнения..................................................211
Ответы к задачам §18..........................................................................................218
Глава 6. Элементы вариационного исчисления 220
§ 19. Простейшая вариационная задача..................................................................220
Ответы к задачам § 19..........................................................................................234
§ 20. Обобщения простейшей вариационной задачи..........................................237
Ответы к задачам п. 1 § 20..................................................................................241
Ответы к задачам п. 2 § 20..................................................................................245
Ответы к задачам п. 3 § 20..................................................................................248
§21. Изопериметрическая задача..............................................................................248
Ответы к задачам § 21..........................................................................................252
§ 22. Достаточные условия строгого слабого локального экстремума в
простейшей вариационной задаче....................................................................253
Ответы к задачам § 22..........................................................................................255
Список литературы 256
