В этой книге дается единое изложение основных понятий теории функций одного и нескольких комплексных переменных. Первая часть, посвященная функциям одного переменного, содержит материал обязательного университетского курса. Вторая часть посвящена функциям нескольких переменных и содержит материал основного спецкурса.
В последние десятилетия интерес к теории функций нескольких комплексных переменных значительно возрос — это объясняется тем, что она имеет важные приложения и богатые связи с другими разделами математики.
Первоначальное изучение этой теории обычно довольно затруднительно. Принятое в книге единое изложение значительно облегчает знакомство с ней.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава I. Голоморфные функции 13
§ 1. Комплексная плоскость 13
1. Комплексные числа 13
2. Топология комплексной плоскости 17
3. Пути и кривые 20
4. Области 23
§ 2. Функции комплексного переменного 26
5. Понятие функции 26
6. Дифференцируемость 31
7. Геометрическая и гидродинамическая интерпретация 36
§ 3. Элементарные функции 42
8. Дробно-линейные функции 42
9. Геометрические свойства 47
10. Дробно-линейные изоморфизмы и автоморфизмы 50
11. Некоторые рациональные функции 54
12. Показательная функция 58
13. Тригонометрические функции 61
Задачи 65
Глава II. Свойства голоморфных функций 68
§ 4. Интеграл 68
14. Понятие интеграла 68
15. Первообразная 72
16. Гомотопия. Теорема Копга 80
17. Обобщения теоремы Копш 86
18. Интегральная формула Коши 90
§ 5. Ряды Тейлора 93
19. Ряды Тейлора 94
20. Свойства голоморфных функций 100
21. Теорема единственности 103
22. Теорема Вейерштрасса 106
§ 6. Ряды Лорана и особые точки 112
23. Ряды Лорана 112
24. Изолированные особые точки 119
25. Вычеты 127 Задачи 134
Глава III. Аналитическое продолжение 137
§ 7. Понятие аналитического продолжения 137
26. Элементы аналитических функций 137
27. Продолжение вдоль пути 144
§ 8. Понятие аналитической функции 151
28. Аналитические функции 151
29. Элементарные функции 156
30. Особые точки 164
§ 9. Понятие римановой поверхности 170
31. Элементарный подход 170
32. Общий подход 174
Задачи 181
Глава IV. Основы геометрической теории 183
§ 10. Геометрические принципы 183
33. Принцип аргумента 183
34. Принцип сохранения области 187
35. Принцип максимума модуля и лемма Шварца 192
§ 11. Теорема Римана 195
36. Конформные изоморфизмы и автоморфизмы 195
37. Принцип компактности 199
38. Теорема Римана 204
§ 12. Соответствие границ и принцип симметрии 206
39. Соответствие границ 206
40. Принцип симметрии 211
41. Эллиптический синус и модулярная функция 216
Задачи 221
Глава V. Дополнительные вопросы 223
§ 13. Разложения целых и мероморфных функций 223
42. Теорема Миттаг-Леффлера 223
43. Теорема Вейерштрасса 230
§ 14. Гармонические и субгармонические функции 238
44. Гармонические функции 238
45. Задача Дирихле 243
46. Субгармонические функции 248
Задачи 254
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Глава I. Голоморфные функции нескольких переменных 259
§ 1. Комплексное пространство 259
1. Пространство Сп 259
2. Простейшие области 264
§ 2. Понятие голоморфности 270
3. Определение голоморфности 270
4. Плюригармонические функции 277
5. Основная теорема Хартогса 280
§ 3. Голоморфные функции 285
6. Простейшие свойства 285
7. Степенные ряды 293
8. Ряды Хартогса и Лорана 297 Задачи 301
Глава II. Интегрирование 304
§ 4. Многообразия и формы 304
9. Понятие многообразия 304
10. Дифференциальные формы 309
11. Понятие интеграла от формы 314
§ 5. Теорема Коши — Пуанкаре 321
12. Цепи и их границы 322
13. Дифференцирование форм 326
14. Формула Стокса 331
15. Теорема Коши — Пуанкаре 334
§ 6. Интегральные представления 337
16. Формулы Мартинелли — Бохнера и Лере 337
17. Теорема Севери 344
18. Формула Вейля 350 Задачи 355
Глава III. Аналитическое продолжение 357
§ 7. Области голоморфности 357
19. Теорема Хартогса о продолжении 357
20. Понятие области голоморфности 360
21. Голоморфная выпуклость 365
22. Свойства областей голоморфности 372
§ 8. Псевдовыпуклость 377
23. Принцип непрерывности 377
24. Выпуклость в смысле Леви 381
25. Плюрисубгармонические функции 386
26. Псевдовыпуклые области 395
§ 9. Оболочки голоморфности 401
27. Однолистные оболочки голоморфности 402
28. Области разложения 408
29. Многолистные оболочки голоморфности 417
Задачи 422
Глава IV. Мсроморфныс функции и проблемы Кузена 424
§ 10. Мероморфные функции 424
30. Понятие мероморфной функции 424
31. Первая проблема Кузена 429
32. Решение для поликругов 434
30. Применения. Вторая проблема Кузена 439
§ 11. Методы теории пучков 445
34. Основные определения 445
35. Группы когомологий 451
36. Точные последовательности пучков 455
§ 12. Применения 460
37. Решение первой проблемы Кузена 460
38. Решение второй проблемы Кузена 466
39. Решение д -проблемы и проблемы Леви 469
Задачи 480
Глава V. Особенности и вычеты 484
§ 13. Многомерные вычеты 484
40. Теория Мартинелли 485
41. Теория Лере 492
42. Логарифмический вычет 501
§ 14. Аналитические множества 507
43. Понятие аналитического множества 507
44. Локальное обращение голоморфных функций 515
§ 15. Аналитичность множества особенностей 519
45. Аналитичность множества особых точек 520
46. Существенно особые точки 523
47. Теорема о вложенном ребре 527
Задачи 530
Глава VI. Голоморфные отображения 533
§ 16. Автоморфизмы простейших областей 533
48. Общие теоремы 534
49. Автоморфизмы пространства 540
50. Автоморфизмы некоторых областей 546
§ 17. Инвариантная метрика 551
51. Кернфункция 551
52. Метрика Бергмана 559
53. Поведение кернфункции на границе 564
Задачи 570
Предметный указатель 572
