Шикин Е.В., Франк-Каменецкий М.М. Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложением дискеты "Плоские кривые". — М., 1997. 336с.
Книга содержит справочный материал по геометрии гладких кривых на плоскости и в пространстве. Описаны основные геометрические характеристики почти двухсот классов кривых, наиболее часто встречающихся в различных областях знаний и в практических приложениях. Изложение сопровождается большим количеством рисунков (728), иллюстрирующих ключевые понятия, факты и методы. Дается наглядное представление о динамике кривых внутри каждого из классов при изменении значений задающих параметров.
К справочнику приложена дискета "Плоские кривые" с программой, позволяющей строить графики почти двухсот кривых и вычислять их различные числовые и графические характеристики при произвольно выбираемых значениях параметров.
Издание предназначено для научных работников и инженеров, использующих математические методы; может быть рекомендовано преподавателям и учащимся высших и средних учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................ 5
Введение ....................................... 7
Глава I. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ .............................. 11
§ 1. Основные понятия и факты ................... 11
1. Параметрическое задание плоской кривой (11). 2. Перепараметризация (14). 3. Гладкая плоская кривая (15). 4. Регулярная плоская кривая (17). 5. Неявное задание плоской кривой (19). 6. Сравнение двух основных способов задания плоских кривых (20). 7. Касательная и нормаль плоской кривой (21). 8. Длина .дуги плоской кривой (24). 9. Естественная параметризация регулярной плоской кривой (25). 10. Кривизна плоской кривой (26). 11. Формулы Френе для плоской кривой (27). 12. Натуральные уравнения плоской кривой (29). 13. Асимптоты плоских кривых (30). 14. Соприкосновение плоских кривых (31). 15. Соприкасающаяся окружность плоской кривой (32). 16. Эволюта и эвольвента плоской кривой (34). 17. Характерные точки регулярной плоской кривой (38). 18. Особые точки плоских кривых (40). 19. Огибающая семейства плоских кривых (43).
§ 2 Некоторые классы и способы образования плоских кривых ........ 48
1. Плоские замкнутые кривые (48). 2. Овалы (50). 3. Каустики (51). 4. Кон-хоидальные кривые (51). 5. Кривые скольжения (52). 6. Параллельные кривые (53). 7. Подэры (53). 8. Изооптические кривые (54). 9. Радиальные кривые (55). 10. Циклоидальные кривые (55). 11. Циссоидальные кривые (56).
Глава II АТЛАС ПЛОСКИХ КРИВЫХ ........................ 57
§ 1. Структура Атласа кривых ........................ 57
§ 2. Атлас кривых ........................... 59
§ 3. Геометрические характеристики кривых из Атласа ............... 229
1. Алгебраические кривые (229). 2. Трансцендентные кривые (235). 3. Ограниченные кривые (237). 4. Замкнутые кривые (238). 5. Неограниченные кривые (239). 6. Кривые, имеющие асимптоты (240). 7. Кривые, имеющие оси симметрии (242). 8. Центральносимметричные кривые (244). 9. Связные кривые (245). 10. Несвязные кривые (247). 11. Кривые без особых точек (247). 12. Кривые, имеющие асимптотические точки (248). 13. Кривые, имеющие ючки возврата (249). 14. Кривые, имеющие изолированные точки (249). 15. Кривые, имеющие узлы (250). 16. Кривые, имеющие кратные точки (251). 17. Кривые, имеющие точки самосоприкосновения (251). 18. Кривые, имеющие точки прекращения (252). 19. Кривые, имеющие сходные графики (252).
Глава III. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ ...................... 254
§ 1. Основные понятия и факты ....................... 254
1. Параметрическое задание пространственной кривой (254). 2. Перепараметризация (256). 3. Гладкая пространственная кривая (258). 4. Регулярная пространственная кривая (260). 5. Неявное задание пространственной кривой (261). 6. Другие определения кривой (263). 7. Касательная пространственной кривой. Нормальная плоскость (263). 8. Длина дуги пространственной кривой (266). 9. Естественная параметризация регулярной кривой (267). 10. Соприкасающаяся плоскость пространственной кривой (268). 11. Главная нормаль и бинормаль пространственной кривой. Спрямляющая плоскость (269). 12. Кривизна пространственной кривой (270). 13. Сопровождающий трехгранник пространственной кривой (271). 14. Кручение пространственной кривой (273). 15. Формулы Френе для пространственной кривой (274). 16. Натуральные уравнения пространственной кривой (275). 17. Асимптоты пространственной кривой (276). 18. Соприкосновение пространственных кривых (276). 19. Соприкасающаяся окружность пространственной кривой (277). 20. Эволюта и эвольвента пространственной кривой (278). 21. Сферические эволюта и эвольвента (279). 22. Соприкасающаяся сфера пространственной кривой (279). 23. Особые точки пространственной кривой (280). 24. Сферические индикатрисы (282). 25. Условия того, чтобы пространственная кривая была плоской (283). 26. Огибающая семейства пространственных кривых (284).
§ 2. Некоторые классы пространственных кривых ....................... 284
1. Пространственные кривые постоянной кривизны, кх = const (284). 2. Кривые постоянного кручения, к2 = const (285). 3. Обобщенные винтовые линии (285). 4. Сферические кривые (286). 5. Кривые Бертрана (287). 6. Замкнутые кривые (288). 7. Торические узлы (289). 8. Бицилиндрические кривые и кривая Вивиани (291).
Глава IV. ПРИМЕНЕНИЯ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ ............... 292
§ 1. Динамические и геометрические свойства плоских кривых ............ 292
§ 2. Плоские кривые и механизмы .............................. 309
§ 3. Геометрические сплайны ........................... 315
