Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. 2-е издание. - М., 1965. – 436 с.
Книга написана как учебник по специальному курсу математического анализа для студентов математических факультетов университетов. Вопросы теории функций действительного переменного, вариационного исчисления и интегральных уравнений освещаются в книге с единой точки зрения теории линейных пространств. От читателя требуется владение общим курсом математического анализа в объеме университетской программы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................... 5
Глава I. Множества......................... 7
§ 1. Множества, подмножества, включения............ 7
§ 2. Операции над множествами................. 8
§ 3. Эквивалентность множеств.................11
§ 4. Счетные множества.....................14
§ 5. Множества мощности континуума..............17
§ 6. Множества высших мощностей . . . ...........23
Глава II. Метрические пространства............... 25
§ 1. Определение и примеры метрических пространств. Изометрия 25
§ 2. Открытые множества....................30
§ 3. Сходящиеся последовательности и замкнутые множества ... 32
§ 4. Полные пространства....................39
§ 5. Теорема о неподвижной точке................47
§ 6. Пополнение метрического пространства...........52
§ 7. Непрерывные функции и компактные пространства......56
§ 8. Линейные нормированные пространства...........66
§ 9. Линейные и квадратичные функции в линейном пространстве 75
Глава III. Вариационное исчисление.................80
§ 1. Дифференцируемые функционалы..............80
§ 2. Экстремумы дифференцируемых функционалов........89
§ 3. Функционалы вида..............94
§ 4. Функционалы вида (продолжение).......106
§ 5. Функционалы с несколькими неизвестными функциями . . . .116
§ 6. Функционалы с несколькими независимыми переменными . . . 123
§ 7. Функционалы с высшими производными...........130
Глава IV. Теория интеграла....................137
§ 1. Множества меры нуль и измеримые функции........137
§ 2. Класс С+..........................142
§ 3. Суммируемые функции...................150
§ 4. Мера множеств и теория интегрирования Лебега.......158
§ 5. Обобщения.........................172
Глава V. Геометрия гильбертова пространства...........181
§ 1. Основные определения и примеры..............181
§ 2. Ортогональные разложения...............189
§ 3. Линейные операторы....................203
§ 4. Интегральные операторы с квадратично интегрируемыми ядрами...........217
§ 5. Задача Штурма — Лиувилля.................225
§ 6. Неоднородные интегральные уравнения с симметричными ядрами...............234
§ 7. Неоднородные интегральные уравнения с произвольными ядрами..................238
§ 8. Приложения к теории потенциала..............248
§ 9. Интегральные уравнения с комплексным параметром.....253
Глава VI. Дифференцирование и интегрирование..........267
§ 1. Производная неубывающей функции.............268
§ 2. Функции с ограниченным изменением............278
§ 3. Восстановление функции по ее производной.........285
§ 4. Функции нескольких переменных..............293
§ 5. Интеграл Стильтьеса....................300
§ 6. Интеграл Стильтьеса (продолжение).............311
§ 7. Применение интеграла Стильтьеса в анализе.........322
§ 8. Дифференцирование функций множеств...........330
Глава VII. Преобразование Фурье..................335
§ 1. О сходимости рядов Фурье.................335
§ 2. Преобразование Фурье...................354
§ 3. Преобразование Фурье (продолжение)............365
§ 4. Преобразование Лапласа..................374
§ 5. Квазианалитические классы функций..... 382
§ 6. Преобразования Фурье в классе L2.........390
§ 7. Преобразования Фурье — Стильтьеса.............402
§ 8. Преобразование Фурье в случае нескольких независимых переменных .............408
Дополнение.............................420
§ 1. Еще о множествах................. 420
§ 2. Теоремы о линейных функционалах.............423
Алфавитный указатель....................433
