Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: изд-во «Наука», 1965 г. – 328 с.
Второй специальный курс математического анализа содержит основы теории обобщенных функций и ее применения к общей теории уравнений с частными производными. Под названием «Анализ-4» этот курс несколько раз был прочитан автором на механико-математическом факультете МГУ. Изложение, как и в первой книге, сопровождается рядом задач, куда вынесены также и некоторые интересные, но не лежащие непосредственно на пути вопросы теории (в частности, все, относящееся к пространству S' функций степенного роста и их производных).
От читателя требуется владение общим курсом математического анализа и некоторое, впрочем небольшое, знакомство с книгой «Математический анализ. Специальный курс» (2-е изд., Физматгиз, 1961), которая в ссылках обозначается «Анализ III».
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...........7
ЧАСТЬ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Глава I. Элементарная теория обобщенных функций .... 9
§ 1. Задача о расширении совокупности обычных функций.....9
§ 2. Основные функции одного переменного ......12
§ 3. Обобщенные функции одного переменного......... 15
1. Определение и примеры обобщенных функций (15). 2. Обычные функции, как обобщенные (17). 3. Дальнейшие примеры сингулярных обобщенных функций (18). 4. Обобщенные функции в комплексном пространстве (20). Задачи (21).
§ 4. Действия с обобщенными функциями одного переменного........23
1. Сложение и умножение на число и функцию (23). 2. Дифференцирование (23). 3. Примеры (24). Задачи (27).
§ 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения........ 28
5. Решения, равные нулю на полуоси (33). 6. Граничная задача (34). 7. Фундаментальная функция дифференциального оператора (36). Задачи (37).
§ 6. Основные и обобщенные функции нескольких переменных...........38
1. Определения (38). 2. Примеры (40). 3. Обобщенные функции в области (41). Задачи (42).
§ 7. Действия с обобщенными функциями нескольких переменных.......43
Глава II. Специальные вопросы теории обобщенных функций ......59
§ 8. Локальные свойства и носитель обобщенной функции ....59
1. Обобщенная функция, равная нулю в области (59). 2. Сохранение локальных свойств при дифференцировании (61).
3. Основная функция, равная 1 на заданном множестве и вне его окрестности (62). 4. Разложение единицы (63). 5. Разложение основной функции (64). 6. Локальное равенство нулю обобщенной функции (64). Задачи (65).
§ 9. Предельный переход в пространстве обобщенных функций ..... 66
1. Определение и простейшие свойства (66). 2. Дельта-образные последовательности (68). 3. Теорема о полноте пространства К (69). 4. Обобщенные функции, непрерывно зависящие от параметра (72). 5. Дифференцируемые функции параметра (74). 6. Аналитические функции параметра (75). Задачи (79).
§ 10. Структура обобщенных функций .... 79
1. Формулировки результатов (79). 2. Лемма о порядке сингулярности обобщенной функции в ограниченной области (80). 3. Обший вид функционала в ограниченной области (81). 4. Общий вид функционала в пространстве К (83). 5. Общий вид финитного функционала (84). 6. Общий вид функционала, сосредоточенного в одной точке (85). 7. Вопрос о гладкости результата интегрирования функции от (to, х) (87). Задачи (89).
§ 11. Некоторые специальные обобщенные функции........ 92
§ 12. Свертка обобщенных функций................109
1. Свертка обычных функций (109). 2. Определение свертки обобщенных функций (110). 3. Существование и основные свойства свертки функционала с основной функцией (112). 4. Свойства свертки обобщенных функций (114). 5. Выражение свертки обобщенных функций через свертки обычных функций (115). 6. Коммутативность свертки (118). 7. Носитель свертки (119). 8. Предел и производная свертки (120). 9. Обобщение на случай нескольких переменных (120). Задачи (122).
§ 13. Порядок сингулярности..................123
1. Порядок сингулярности s (/) (123). 2. Порядок сингулярности c(f) (124). 3. Теоремы о порядке сингулярности (125). 4. Величина s (f) и свертка (126). 5. Связи между s (f) и с (f) (128). 6. Оценки s (f) и с (f) через s для финитных функционалов (130). 7. Оценки для произвольных функционалов в ограниченной области (132). Задачи (133).
§ 14. Преобразование Фурье обобщенных функций........134
1. Преобразование Фурье обычной функции (134). 2. Пространство Z (136). 3. Функционалы на пространстве К и на пространстве Z (138). 4. Преобразование Фурье обобщенной функции (141). 5. Примеры (144). Задачи (146).
§ 15. Преобразование Фурье обобщенных функций (продолжение) . 147 1. Случай нескольких переменных (147). 2. Преобразование Фурье и повороты (149). 3. Преобразование Фурье финитного функционала (150). 4. Бесселевы функции (152). 5. Преобразование Фурье (153). 6. Преобразование Фурье и свертка (154). 7. Другие формы преобразования Фурье (156). Задачи (156).
ЧАСТЬ 2. ПРОБЛЕМЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Глава III. Фундаментальные функции дифференциальных операторов и локальные свойства решений.........158
§ 16. Формула типа Пуассона...................158
1. Свойства совокупности решений уравнения в К (158). 2. Формула типа Пуассона (159). 3. Следствия, относящиеся к порядку сингулярности решения (162). 4. Формула типа Пуассона для гипоэллиптического оператора (163). 5. Классы Жеврея (164). Задачи (167).
§ 17. Существование фундаментальной функции..........169
1. Общие соображения (169). 2. Запись многочлена Я в нормальной форме (170). 3. Лестница Хёрмандера (172). 4. Существование фундаментальной функции (173). 5. Возможность искривления лестницы (174). Задачи (175).
§ 18. Решение уравнения с правой частью............175
1. Разложение по системе лестниц Хёрмандера (175). 2. Существование искомых лестниц (177). Задачи (179).
§ 19. Условие гипоэллиптичности по корням многочлена (необходимость) ..........................180
1. Диаграмма модулей дифференциального оператора (180). 2. Лемма о производных решения гипоэллиптического уравнения (182). 3. Характеристическое свойство поверхности нулей гипоэллиптического многочлена (183). 4. Лемма о производных решения у-гипоэллиптического уравнения (185). 5. Характеристическое свойство поверхности нулей у-гипоэллиптического уравнения (185) 6. Оценка нижней грани Bqqq$d~q (186). Задачи (187).
§ 20. Условие гипоэллиптичности по корням многочлена (достаточность) ........................187
1. Лемма о модуле многочлена (188). 2. Доказательство основной теоремы (189). 3. Условие у-гипоэллиптичности (194). 4. Использование теоремы Зайденберга — Тарского (196).
Задачи (198).
§ 21. Условия гипоэллиптичности по поведению многочлена в вещественной области......................199
1. Леммы Хёрмандера (199). 2. Эллиптические уравнения (202). Задачи (204).
§ 22. Метод Радона.......................205
1. Общая схема метода (205). 2. Случай однородного эллиптического многочлен^(207). 3. Случай однородного неэллиптического многочлена (208). 4. Расположение особенностей фундаментальной функции (211). Задачи (213).
Глава IV. Уравнения в полупространстве ....214
§ 23. Корректные краевые задачи для систем уравнений ....214
§ 24. Вспомогательные построения................219
1. Интерполяционный многочлен Ньютона (219). 2. Оценка нормы матрицы etp через характеристические числа матрицы Р (222). 3. Обобщенные детерминанты Вандермонда (223).
4. Разделенные разности (227). 5. Двойные разделенные разности (228).
§ 25. Обыкновенные уравнения и системы .........230
1. Простейшая корректная задача для системы (230). 2. Простейшая корректная задача для одного уравнения (232).
3. Общая корректная задача для системы (238). 4. Другие условия на рост решения при (239).
§ 26. Уравнения в частных производных..... . 239
1. Основная теорема для системы (239). 2. Основная теорема для одного уравнения (243). 3. Необходимость условий корректности (246). 4. Общая краевая задача (246). 5. Примеры (248). 6. Задачи с другими условиями на рост при со (250).
§ 27. Фундаментальные решения регулярных краевых задач .... 250
§ 28. Формулы фундаментальных решений регулярных уравнений... . 262
1. Выражение преобразования Фурье фундаментального решения однородного уравнения (262). 2. Случай гиперболического уравнения (265). 3. Случай регулярного уравнения (267). Задачи (271).
§ 29. Фундаментальные решения регулярных уравнений (n > 1) . 272
1. Общая схема и классические примеры (272). 2. Общее регулярное уравнение (278). 3. Однородное гиперболическое уравнение (281). 4. Регулярное однородное уравнение (284).
§ 30. Уравнения со свободным членом . . 287
1. Общая схема и формулировка основной теоремы (287). 2. Система обыкновенных уравнений (291). 3. Обыкновенное уравнение порядка m (295). 4. Уравнение с частными производными (301).
§ 31. Смешанные задачи ...... 303
1. Общая схема и формулировка основной теоремы (303). 2. Примеры (307). 3. Пространства (311). 4. Доказательство необходимости для системы (313). 5. Доказательство необходимости для уравнения m-го порядка (316). 6. Доказательство достаточности (318).
Краткие литературные указания ..... 323
Алфавитный указатель...........325
