Толстов Г.П. Мера и интеграл. - М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1976.
Книга содержит краткое и довольно простое изложение элементов теории абстрактной меры и интеграла (включая меру и интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса). Она может оказаться полезной студентам математических специальностей университетов и педагогических институтов, а также студентам инженерноматематических специальностей втузов, аспирантам и заинтересованным научным работникам.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............7
Глава I. Введение........... 9
§ 1. Кольца и алгебры множеств....... 9
§ 2. Полукольца...........14
§ 3. Борелевские кольца и алгебры, сигма-кольца. Борелевские множества..........14
§ 4. Последовательности множеств, их пределы (по Борелю).............21
§ 5. Функции множества, конечная и счетная аддитивность .............24
§ 6. Непрерывность счетно-аддитивной функции, заданной на кольце...........30
§ 7. О группировке членов положительного ряда .........32
Глава II. Мера — начальные сведения......35
§ 1. Абстрактная мера, ее общие свойства; вероятностная мера............35
§ 2. Продолжение меры — постановка задачи ...41
§ 3. Продолжение меры с полукольца на кольцо, минимальное над ним..........43
§ 4. Мера Стилтьеса на прямой, критерий счетной аддитивности ............46
§ 5. Функция распределения меры на прямой ... 51
§ 6. Мера Стилтьеса на плоскости и в я-мерном пространстве .............54
§ 7. Функция распределения меры на плоскости и в n-мерном пространстве........70
§ 8. Классы σ (М) и δ (М); μ-измеримость .... 74
§ 9. Лузинские меры..........79
§ 10. Борелевские меры. Полные меры.....80
Глава III. Продолжение меры. Меры Лебега и Лебега — Стилтьеса...........86
§ 1. Внутренняя и внешняя меры, индуцированные произвольной мерой. Продолжение меры по схеме древних греков............86
§ 2. Продолжение меры по схеме Жордана .... 91
§ 3. Продолжение счетно-аддитивной меры с кольца М на классы σ(М) и δ (М)........93
§ 4. Продолжение счетно-аддитивной меры с σ-кольца М на класс а(М)..........105
§ 5. Продолжение счетно-аддитивной меры по схеме Лебега. Внутренняя и внешняя меры Лебега....105
§ 6. Свойства лебеговского продолжения. Борелевское продолжение счетно-аддитивной меры ....110
§ 7. Мера Лебега на прямой........114
§ 8. Мера Лебега — Стилтьеса на прямой .... 120
§ 9. Функция распределения счетно-аддитивной меры на прямой.........124
§ 10. Мера Лебега на плоскости и в n-мерном пространстве ..............126
§ 11. Мера Лебега — Стилтьеса на плоскости n в m-мерном пространстве..........134
§ 12. Функция распределения счетно-аддитивной меры на плоскости и в n-мерном пространстве .....137
Глава IV. Измеримые функции....... 144
§ 1. Х-измеримые функции, их простейшие свойства. Борелевские функции и функции, измеримые по Лебегу .............144
§ 2. Характеристические функции. Ступенчатые функции..............148
§ 3. Арифметические операции над измеримыми функциями, суперпозиции.........153
§ 4. р-измеримые функции. Понятие «почти всюду» .......156
§ 5. Сходимость почти всюду, сходимость по мере .......159
§ 6. Теорема Д. Ф. Егорова........166
§ 7. Теорема Н. Н. Лузина........168
Глава V. Произведение мер.........175
§ 1. Ступенчатый интеграл........175
§ 2. Прямые произведения множеств и классов множеств .........179
§ 3. Произведение мер, задапных на полукольцах .......185
§ 4. Лебеговское и борелевское произведения мер .......190
Глава VI. Интеграл по лузинской мере (случай неотрицательной функции)........198
§ 1. Ординатные множества........198
§ 2. Интеграл от неотрицательной функции — определение и простейшие свойства.......202
§ 3. Простейшие свойства, специфические для интеграла от неотрицательной функции......207
§ 4. Интегрирование последовательностей неотрицательных функций...........212
§ 5. Линейность интеграла.........218
§ 6. Интегрирование положительных рядов .... 220
Глава VII. Интеграл по лузинской мере (без ограничения на знак функции)........223
§ 1. Определение...........223
§ 2. Простейшие свойства интеграла. Теорема Лебега 225
§ 3. Интегральные суммы Лебега......235
§ 4. Интегральные суммы Римана. Интеграл Римана . 238
§ 5. Иптеграл как функция множества. Абсолютная непрерывность ...........247
§ 6. Свойства интеграла, связанные с операциями над мерой; интегральное преобразование меры .... 253
§ 7. Атомы, непрерывно распределенная мера, интеграл при наличии атомов.........259
Глава VIII. Интеграл Лебега и Лебега —Стилтьеса......265
§ 1. Интеграл Лебега..........265
§ 2. Интеграл Лебега — Стилтьеса — вводные замечания, терминология и обозначения.......270
§ 3. Дискретная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл в этом случае...........274
§ 4. Мера Лебега — Стилтьеса, заданная интегралом; интеграл по такой мере........279
§ 5. Свойства интеграла Лебега — Стилтьеса, связанные с простейшими операциями над мерами ..... 284
§ 6. Интеграл Лебега — Стилтьеса при наличии атомов.....287
Глава IX. Теорема Фубини.........292
§ 1. Монотонные классы множеств......292
§ 2. Свойство Фубини..........294
§ 3. Теорема Фубини в случае борелевского произведения мер для конечного прямоугольника и ограниченной функции..........299
§ 4. Теорема Фубини для борелевского произведения мер в случае существования внутреннего интеграла ........305
§ 5. Свойство Фубини в широком смысле .......311
§ 6. Теорема Фубини для борелевского произведения мер в общем случае.........315
§ 7. Теоремы о сечениях множеств и функций.....................318
§ 8. Теорема Фубини в случае лсбеговского произведения мер............320
Глава X. Преобразование интеграла при отображении ........327
§ 1. Измеримые отображения.......327
§ 2. Преобразование меры при отображении.................332
§ 3. Преобразование интеграла при отображении. Связь абстрактного интеграла с одномерным интегралом Лебега — Стилтьеса.........333
Глава XI. Функции множества на борелевских кольцах 340
§ 1. Сосредоточенные фупкции. Свойства меры, заданной на борелевском кольце.......340
§ 2. Обобщенная мера..........341
§ 3. Вариации функции множества. Вариации интеграла 344
§ 4. Ограниченность счетно-аддитивной функции, заданной на борелевском кольце.......346
§ 5. Теорема Жордана о вариациях счетно-аддитивной функции, заданной на борелевском кольце; ее следствия .............347
§ 6. Разложение в смысле Хана.......350
§ 7. Разложение функции множества на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие (разложение в смысле Лебега)........354
Глава XII. Теорема Радона — Никодима и ее приложения ...............361
§ 1. Теорема Радона — Никодима для борелевской алгебры .............361
§ 2. Усиление теоремы РадонаНикодима .... 364
§ 3. Иптеграл по абсолютно непрерывной мере ........................367
§ 4. Лебеговское разложение интеграла на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие.......368
§ 5. Лебеговское разложение интеграла при наличии атомов.............370
§ 6. Лебеговское разложение интеграла Лебега — Стилтьеса.............372
§ 7. Абсолютно непрерывные и сингулярные функции точки на прямой. Неопределенный интеграл Лебега 376
Глава XIII. Интеграл по обобщенной мере.....385
§ 1. Определение...........385
§ 2. Лебеговское разложение интеграла по обобщенной мере.............386
§ 3. Обобщенная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл по такой мере............389
§ 4. Лебеговское разложение интеграла Лебега — Стилтьеса по обобщенной мере ....391
