Треногин В. А., Писаревский Б. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М., 2002. — 240 с.
Сборник содержит задачи по всем основным разделам курса функционального анализа, читаемого в вузах. Он ориентирован на учебное пособие В. А. Треногина «Функциональный анализ», вышедшее в 1980 г. Рамки задачника несколько шире требований программы.
Для студентов технических вузов, специализирующихся в области прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию...................................... 5
Предисловие к первому изданию....................................... 6
Глава 1. Нормированные пространства....................... 9
§ 1. Линейные нормированные пространства .................... 9
§ 2. Банаховы пространства ..................................... 19
§ 3. Гильбертовы пространства .................................. 23
§ 4. Пространства Лебега и Соболева............................ 29
§ 5. Построение элемента наилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах.....32
§ 6. Метрические и топологические пространства ............... 37
Глава 2. Линейные операторы.................................. 43
§ 7. Непрерывность, ограниченность и норма линейного оператора ................43
§ 8. Пространство ограниченных линейных операторов ......... 47
§ 9. Обратные операторы ........................................ 54
§10. Замкнутые операторы ....................................... 57
Глава 3. Сопряженные пространства и сопряженные операторы......................... 60
§ 11. Непрерывные линейные функционалы ...................... 60
§ 12. Теорема Хана-Банаха. Структура сопряженного пространства...............64
§ 13. Слабая сходимость. Рефлексивность ........................ 67
§ 14. Сопряженные операторы .................................... 70
Глава 4. Компактные множества и вполне непрерывные операторы...................... 74
§ 15. Компактные множества в нормированных пространствах ..........74
§ 16. Линейные вполне непрерывные операторы.................. 80
§ 17. Нормально разрешимые операторы ......................... 87
Глава 5. Самосопряженные операторы. Спектральная теория................. 92
§ 18. Самосопряженные операторы ............................... 92
§ 19. Спектр линейного оператора................................. 96
§ 20. Спектр вполне непрерывного и самосопряженного оператора................100
§ 21. Линейные интегральные уравнения ......................... 103
§ 22. Неограниченные операторы в гильбертовом пространстве .. 110
Глава 6. Нелинейные операторы и уравнения в банаховых пространствах.............. 115
§ 23. Дифференцирование нелинейных операторов............... 115
§ 24. Принцип сжимающих отображений, итерационный процесс Ньютона и принцип неподвижной точки Шаудера..........123
§ 25. Неявные операторы ......................................... 131
Глава 7. Дискретные приближения решений операторных уравнений............... 136
§ 26. Приближенные и разностные схемы......................... 136
§ 27. Интерполяция сплайнами ................................... 146
§ 28. Приближенные схемы Галеркина............................ 151
§ 29. Метод монотонных операторов .............................. 158
Глава 8. Элементы теории экстремума и выпуклого анализа............. 165
§ 30. Необходимые условия экстремума функционала............ 165
§ 31. Достаточные условия экстремума функционала............. 173
§ 32. Полунепрерывные и выпуклые функционалы ............... 178
Ответы и указания ..................................................... 181
Список литературы..................................................... 233
Список обозначений.................................................... 235
