Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория (2-е изд.). М., 2003. - 312 с.
В книге дается систематическое изложение теории псевдодифференциальных операторов и ее приложений в спектральной теории дифференциальных операторов. Псевдодифференциальные операторы играют важную роль в современных методах исследования уравнений с частными производными и в математической физике. Изложение сопровождается упражнениями и задачами и рассчитано на лиц, впервые знакомящихся с предметом.
Книга может быть полезна специалистам по дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и математической физике, а также студентам старших курсов и аспирантам математических и физических специальностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..............................................................................5
Глава I. Основы теории псев до дифференциальных операторов..................13
§ 1. Осциллирующие интегралы..................................................13
§ 2. Интегральные операторы Фурье (определение и простейшие свойства) 23
§ 3. Алгебра псевдодифференциальных операторов и их символов..........29
§ 4. Замена переменной и псевдодифференциальные операторы на многообразиях ...........45
§ 5. Гипоэллиптичность и эллиптичность......................................53
§ 6. Теоремы об ограниченности и компактности псевдодифференциальных операторов...........62
§ 7. Пространства Соболева......................................................68
§ 8. Фредгольмовость, индекс, спектр..........................................81
Глава II. Комплексные степени эллиптических операторов........................93
§ 9. Псевдодифференциальные операторы с параметром. Резольвента ........ 93
§ 10. Определение и простейшие свойства комплексных степеней эллиптического оператора......103
§ 11. Структура комплексных степеней эллиптического оператора.....111
§ 12. Аналитическое продолжение ядер комплексных степеней........119
§ 13. ζ-функция эллиптического оператора и формальные асимптотики спектра.............130
§ 14. Тауберова теорема Икехара.........................138
§ 15. Асимптотика спектральной функции и собственных значений (грубые теоремы)........146
Глава III. Асимптотика спектральной функции..................151
§ 16. Формулировка теоремы Хёрмандера и комментарии...........151
§ 17. Нелинейные уравнения 1-го порядка....................152
§ 18. Действие псевдодифференциального оператора на экспоненту .... 159
§ 19. Фазовые функции, определяющие класс псевдодифференциальных операторов.............166
§ 20. Оператор ехр(-itА) .............................168
§ 21. Точная формулировка и доказательство теоремы Хёрмандера .... 174
§ 22. Оператор Лапласа на сфере.........................183
Глава IV. Псевдодифференциальные операторы в Еn..............195
§ 23. Алгебра псевдодифференциальных операторов в Еn..........195
§ 24. Антивиковский символ. Теоремы об ограниченности и компактности 207
§ 25. Гипоэллиптичность и параметрикс. Пространства Соболева. Фредгольмовость............214
§ 26. Существенная самосопряженность. Дискретность спектра.......218
§ 27. След и ядерная норма............................223
§ 28. Приближенный спектральный проектор..................228
§ 29. Операторы с параметром..........................238
§ 30. Асимптотика собственных значений....................246
Добавление 1. Волновые фронты и распространение особенностей .....253
Добавление 2. Квазиклассическая асимптотика собственных значении . . . 265
Добавление 3. Операторы Гильберта — Шмидта и ядерные операторы . . . 283
Краткие литературные указания...........................295
Библиография......................................299
