Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина). Новосибирск: НГУ, 2004.- 140 с.
Оглавление
1 Симметрии ............................4
1.1 Группа симметрии и абстрактная группа..............................4
1.2 Примеры конечных групп..............................................7
2 Основные понятия теории групп ....................10
2.1 Классы....................................................................10
Правые смежные классы. Индекс......................................10
Инвариантная подгруппа. Фактор-группа. Прямое произведение . 12
Классы сопряженных элементов ......................................14
2.2 Представления..........................................................16
3 Теория характеров ...................19
3.1 Свойства характеров....................................................19
3.2 Снятие вырождения при понижении симметрии......................21
4 Колебания молекул .................25
4.1 Кратность вырождения..................................................25
4.2 Характер исходного представления....................................27
4.3 Колебательное представление..........................................29
4.4 Собственные векторы и собственные значения........................31
5 Группы и алгебры Ли .................33
5.1 Гладкое многообразие..................................................33
5.2 Группа Ли................................................................34
5.3 Алгебра Ли ..............................................................38
5.4 Алгебра Ли группы Ли..................................................39
5.5 Экспоненциальная формула............................................41
6 Отображение SU(2) в SO(3) ..............43
6.1 Примеры матричных алгебр Ли........................................43
6.2 Гомоморфизм SU(2) SO(3) ..........................................47
7 Представления группы SO(3) .................51
7.1 Матричные представления..............................................51
Оператор Казимира......................................................51
Повышающий и понижающий операторы............................52
Лестница состояний ....................................................52
Вычисление матричных элементов....................................54
7.2 Представление на гладких функциях координат ....................54
7.3 Неприводимые представления групп вращения......................55
7.4 Матрицы конечных поворотов..........................................56
8 Тензоры ...............58
8.1 Разложение Клебша — Гордана........................................58
Прямое произведение представлений..................................58
Разложение на неприводимые..........................................59
8.2 Три определения тензора................................................61
8.3 Тензорное представление................................................64
9 Правила отбора ...................66
9.1 Симметризаторы Юнга..................................................66
9.2 Инвариантные тензоры..................................................69
9.3 Правила отбора..........................................................72
10 Функция Грина 75
10.1 Полуоднородная задача ................................................75
10.2 Разложение оператора по проекторам..................................77
10.3 Оператор Штурма — Лиувилля........................................79
10.4 Дополнительная литература............................................82
11 Обобщенная функция Грина .........................83
11.1 Задачи Дирихле и Неймана к уравнению Пуассона..................85
Единственность..........................................................86
Фундаментальные решения............................................87
Функция Грина для задачи Дирихле..................................88
12 Функция Грина второго рода ......................91
12.1 Формула Грина для оператора Лапласа................................91
12.2 Потенциалы простого и двойного слоя................................91
12.3 Уравнение Гельмгольца................................................95
13 Нестационарные уравнения ...............................98
13.1 Параболические операторы............................................98
Единственность..........................................................99
Связь функций Грина первого и второго рода ............100
Формула Пуассона...........................101
13.2 Гиперболические операторы......................103
Единственность.............................103
Связь функций Грина первого и второго рода ............104
Запаздывающая функция Грина ...................105
14 Резольвента .......................108
14.1 Дискретный и непрерывный спектр..................108
14.2 Резольвента дифференциального оператора.............110
14.3 Построение резольвенты.......... ..............112
п=1....................................112
п=3....................................114
15 Суперсимметричная квантовая механика ...............116
15.1 Суперзаряды ..............................116
15.2 Суперсимметричный осциллятор...................118
15.3 Уравнение Шредингера ........................120
15.4 Примеры.................................122
А Свойства представлений 126
Литература 134
Предметный указатель 138
