Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 1 (Уравнения в частных производных. Специальные функции. Асимптотики). Новосибирск: НГУ, 2004.- 115 с.
Оглавление
1. Уравнения в частных производных 4
1.1 Основные понятия ......................................................4
1.2 Примеры из физики ....................................................5
Колебания струны ......................................................5
Гидродинамика идеальной жидкости..................................6
Уравнения Максвелла..................................................7
Уравнение Шредингера ................................................8
Уравнение теплопроводности..........................................8
1.3 Методы решения........................................................9
2. Уравнения первого порядка 12
2.1 Линейные уравнение.......... ................................12
Однородное уравнение.......... ..............................12
Задача Коши..............................................................14
Неоднородное уравнение.......... ............................14
2.2 Квазилинейные уравнения......... ............................16
Уравнение Хопфа........................................................17
2.3 Нелинейные уравнения ......... ..............................19
Уравнение Гамильтона—Якоби........................................20
3. Системы линейных уравнений 21
3.1 Характеристики ........................................................21
3.2 Инварианты Римана....................................................23
3.3 Канонический вид ......................................................24
3.4 Формула Даламбера ....................................................24
3.5 Неоднородное волновое уравнение ....................................25
4. Метод годографа .......................27
4.1 Преобразование годографа..............................................27
4.2 Потенциалу............ ......................................28
4.3 Политропный газ........................................................28
5. Канонический вид уравнений 2-го порядка .................30
5.1 Случай двух переменных.......... ............................30
5.2 Случай многих переменных......... ..........................33
6. Автомодельность и бегущие волны .................36
6.1 Понятие автомодельности......... ............................36
6.2 Примеры..................................................................36
Линейное уравнение теплопроводности....... ....................36
Нелинейное уравнение теплопроводности..... ..................38
Уравнение Бюргерса....................................................39
Уравнение Кортевега — де Фриза......................................40
7. Разделение переменных 42
7.1 Полное разделение переменных........ ........................42
7.2 Метод Фурье............. ....................................44
8. Цилиндрические функции 49
8.1 Задача о круглой мембране..............................................49
8.2 Функции Бесселя........................................................51
Разложение в ряд........... ..................................51
Рекуррентное соотношение ......... ..........................52
Интегральные представления........ ..........................52
Соотношение ортогональности......... ........................55
9. Сферические функции ..............56
9.1 Частица в центральном поле......... ..........................56
9.2 Функции Лежандра......................................................56
9.3 Сферические функции Бесселя........................................60
10. Аналитическая теория 62
10.1 Канонический вид ......................................................62
10.2 Обыкновенная точка.......... ................................63
10.3 Особая точка............ ......................................65
10.4 Теорема Фукса ..........................................................67
10.5 Уравнения класса Фукса................................................68
11. Гипергеометрические функции .............70
11.1 Функция Гаусса..........................................................70
11.2 Вырожденная гипергеометрическая функция........................71
11.3 Примеры..................................................................72
Уравнение Лежандра....................................................72
Уравнение Бесселя......................................................72
Линейный осциллятор.......... ..............................73
Атом водорода............ ....................................74
11.4 Полиномы Лareppa......................................................75
12. Асимптотические методы 77
12.1 Асимптотическое разложение........ ..........................77
12.2 Интеграл Лапласа........................................................78
12.3 Метод стационарной фазы..............................................81
13. Метод перевала 84
13.1 Седловая точка............ ....................................84
13.2 Топологический и аналитический этапы..............................85
13.3 Примеры..................................................................87
14. Метод усреднения 92
14.1 Усредненное уравнение.......... ..............................93
14.2 Метод Боголюбова — Крылова..........................................96
14.3 Примеры..................................................................96
15. Явление Стокса 99
15.1 Квазиклассическое приближение......................................99
15.2 Простая точка поворота.......... ...............100
Свойства матрицы перехода....... ...........102
15.3 Две простых точки поворота......................105
А Сводка формул 108
А.1 Функция Эйлера............................108
А.2 Гипергеометрические функции....................108
А.З Цилиндрические функции.......................109
А.4 Ортогональные полиномы......... ..............112
Литература 116
Предметный указатель 120
