Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М., 1964. - 104 с.
Эта книга является пособием для студентов механико-математического и физико-математического факультетов вечерних и заочных отделений университетов. Она посвящена теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка - тому разделу математики, который находит чрезвычайно широкое и многообразное применение в механике, физике и технике.
В работе дается вывод основных уравнений математической физики и классификация уравнений второго порядка; последовательно излагается теория уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также теория потенциала; рассматриваются следующие методы решения задач, связанных с уравнениями в частных производных второго порядка: метод характеристик, метод Фурье и метод функции Грина.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................... 3
Введение...........................7
Глава I. Вывод основных уравнений математической физики 9
§ 1. Уравнение колебаний струны 9
§ 2. Уравнение колебаний мембраны...........13
§ 3. Уравнения гидродинамики и распространение звуковых волн.......................17
§ 4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.....................24
§ 5. Задачи» приводящиеся к уравнению Лапласа. .............29
1. Установившаяся температура а однородном твердом теле (29). 2 Потенциальное движение несжимаемой жидкости (30). Задачи (31).
Глава II. Классификация уравнении второго порядка..................... 33
§ 6. Типы уравнений второго порядка...........33
§ 7. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами ....... 34
§ 8. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.....37
Глава III. Уравнения гиперболического типа........47
§ 9. Уравнение колебаний струны. Решение Даламбера ................ 47
1. Неограниченная струна (47). 2. Задача Кошн (50). 3. Ограниченная струна (53}. Задачи (56).
§ 10. Уравнение гиперболического типа с двумя независимыми переменными.................... . 37
1. Задачи Коши (57). 2. Задачи Гурса (63).
§ 11. Волновое уравнение................64
1. Формула Пуассона (64). 2. Цилиндрические волны (69). 3, Непрерывная зависимость решения or начальных
данных (71) 4 Теорема единственности (72). 5 Неоднородное волновое уравнение (74) 6 Точечный источник (78)
§ 12. Задача Коши. Характеристики........ . . .79
§ 13. Смешанная задача..................85
1. Постановка задачи (85) 2. Единственность решения смешанной задачи (86) 3 Непрерывная зависимость решения смешанной задачи от начальных данных (88)
§ 14. Метод Фурье.....................90
1. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны (90). 2 Общая схема метода Фурье (97) 3 Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах (ЮЗ). 4 Вынужденные колебания струны с подвижными концами (106). В Метод Фурье в многомерном случае (107) 6. Свободные колебания прямоугольной мембраны (III) 7 Свободные колебания круглой мембраны (115) Задачи (118)
Глава IV. Уравнения параболического типа.........121
§ 15. Первая краевая задача. Теорема о максимуме и минимуме .......... . ...........121
1. Постановка задачи (121) 2 Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности (123) Задачи (129).
§ 16 Задача Коши...................130
1. Постановка задачи Коши (130) 2. Единственность решения (130) 3. Существование решения задачи Коши (131) 4. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальной функции (136).
Глава V. Уравнения эллиптического типа.........142
§ 17. Уравнение Лапласа.................142
§ 18. Формулы Грина. Интегральное представление произвольной функции..................143
§ 19. Основные свойства гармонических функций.....147
§ 20. Постановка основных задач для уравнения Лапласа 151
§ 21. Функция Грина оператора Лапласа...... ... 153
1. Функция Грина задачи Дирихле (153). 2. Некоторые свойства функции Грина (155).
§ 22. Решение внутренней задачи Дирихле для шара .......156
§ 23. Теоремы о последовательности гармонических функций ........... ...........162
§ 24. Внешняя задача Дирихле для шара.........164
§ 25. Поведение производных гармонической функции на бесконечности .................... 166
§ 26. Теорема единственности задачи Неймана ..... 168
Глава VI. Теория потенциала...............171
§ 27. Потенциалы объема, простого и двойного слоев .....171
§ 28. Несобственные интегралы, зависящие от параметра ......174
§ 29. Потенциал объема..................177
§ 30. Поверхности Ляпунова ..............186
§ 31. Потенциал двойного слоя...... ........189
§ 32. Потенциал простого слоя...... .........198
Литература .........................205

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗