Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Т.1,2.- М.: ИЛ, 1962. - 364+416 с.
Предлагаемый вниманию читателя двухтомный курс теории функций комплексного переменного отличается своеобразным отбором материала, написан на высоком методическом уровне и излагает эту науку с современных позиций (на момент издания).
Книга будет полезной студентам и аспирантам университетов и технических вузов, а также научным работникам в области математики и ее приложений.. Автор этой книги—выдающийся румынский математик академик Симон Стоилов заслужил мировую известность результатами в топологической теории функций, в теории римановых поверхностей и в других разделах теории аналитических функций.
Том 1
ОГЛАВЛЕНИЕ
От Издательства...................................5
Предисловие..................................................7
Введение ......................................................g
Глава I. Предварительные понятия............................15
1. Общие сведения о множествах............................15
2. Множества комплексных чисел ......................20
3. Непрерывные отображения и топологические отображения 32
Глава II. Функции, аналитические в некоторой области .... 41
1. Степенные ряды ..........................................41
2. Голоморфные и мероморфные функции....................54
3. Некоторые общие теоремы'о функциях, голоморфных или мероморфных в области D.....63
Глава III. Дифференциальная теория голоморфности..........77
1. Дифференцируемые функции и конформное отображение . . 77
2. Дробно-линейные преобразования..........................85
3. Теория Коши..............................................99
Глава IV. Аналитические функции, рассматриваемые во всей области существования...............135
1. Аналитическое продолжение................135
2. Особые точки на окружности круга сходимости элемента 142
3. Метод эффективного аналитического продолжения: принцип симметрии........................147
4. Особенности однозначных ветвей аналитических функций 152
Глава V. Последовательности голоморфных функций и основная теорема теории конформных отображений...158
1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций.........................158
2. Ограниченные семейства голоморфных функций......160
3. Конформное отображение односвязной области . . .... 168
Глава VI. Целые и мероморфные функции..........176
1. Общие сведения о представлении целых и мероморфных функций ...........................176
2. Функции sin z, ctg z, σ (z) и σ (z).............188
3. Функция Г(s) и функция Римана ζ (z)...........202
Глава VII. Периодические меломорфные функции......210
1. Двоякопериодические функции ..............210
2. Выражение двоякопериодических функций при помощи функций σ, σ и p...............215
3. Функция р (z) и ее связь с другими функциями, положенными в основу теории двоякопериодических функций ...... 225
4. Однопериодические функции...............230
Глава VIII. Целые функции конечного порядка........235
1. Порядок роста целых функций..............235
2. Приложения понятия порядка к исследованию свойств целых функций........................,251
Глава IX. Однозначные функции: особенности, область существования ......................256
1. Функции, ограниченные в круге..............255
2. Принцип Фрагмена — Линделёфа .............260
3. Продолжение конформного отображения на границу области 271
4. Особенности и области существования однозначных функций 276
Глава X. Многозначные аналитические функции.......286
1. Область существования и обратная функция для заданной аналитической функции..................286
2. Риманова поверхность аналитической функции.......292
3. Алгебраические функции .............305
Глава XI. Приложения многозначных функций к изучению однозначных функций...............317
1. Эллиптический интеграл первого рода и двоякоперподические мероморфные функции.........317
2. Полигональные функции....................................332-
3. Различные теоремы об однозначных функциях, вытекающие из существования модулярной функции..........346
Предметный указатель . . ..................358
Том 2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................5
Глава I. Предварительные формулы. Задача Дирихле............7
§ 1. Определение гармонических функций....................7
§ 2. Формулы Грина. Задача Днрихде........................10
§ 3. Формула среднего значения. Приложения................17
§ 4. Функция Грина. Формула Пуассона . ...................21
§ 5. Формула Р. Неванлинны (Иенсена — Пуассона)..........25
Глава II. Локальные свойства гармонических функций............34
§ 1. Разложения гармонических функций в ряды..............34
§ 2. Интеграл Пуассона . .................................42
§ 3. Обобщение задачи Дирихле и принципа максимума и минимума.................45
§ 4. Продолжение гармонических функций....................51
§ 5. Расширенное определение гармоничности................55
§ 6. Изолированные особенности гармонических функций ... 56
Глава III. Задача Дирихле для многосвязных областей............67
§ 1. Альтернирующий метод Шварца........................67
§ 2. Задача Дирихле для многосвязных областей D..........71
Глава IV. Интеграл Дирихле и принцип минимума................73
Глава V. Функция Грина. - Принцип Линделёфа и принцип гиперболической метрики............83
§ 1. Функция Грина для областей D, ограниченных конечным числом жордановых кривых...............83
§ 2. Принцип Линделёфа ....................................90
§ 3. Приложения принципа Линделёфа........................98
§ 4. Функция Грина для произвольных областей Q......103
§ 5. Постоянная Робена. Емкость замкнутого и ограниченного множества...................109
§ 6. Универсальная накрывающая поверхность........... . 120
§ 7. Гиперболическая метрика. Принцип гиперболической метрики..................... 130
§ 8. Приложения принципа гиперболической метрики ............135
Глава VI. Гармоническая мера.................149
§ 1. Относительная гармоническая мера...........149
§ 2. Теорема о двух константах. Приложения........156
§ 3. Принцип P. Неванлинны, или принцип гармонической меры. Приложения...................163
§ 4. Абсолютная гармоническая мера............170
§ 5. Поведение гармонических и аналитических функций в окрестности множеств нулевой гармонической меры . . 181
§ 6. Метрические свойства множеств нулевой гармонической меры..........................192
Глава VII. Римановы поверхности................203
§ 1. Предварительные топологические рассмотрения.....203
§ 2. Абстрактные римановы поверхности...........205
§ 3. Триангулируемые и ориентируемые поверхности.....210
§ 4. Накрывающие римановы поверхности. Внутренние отображения .........................214
§ 5. Топологическая классификация замкнутых римановых поверхностей. Полиэдрические области .......... 232
§ 6. Топологическая классификация открытых римановых поверхностей. Граничные элементы. Полиэдрические аппроксимирующие области.................. 242
§ 7. Аналитические и гармонические функции на римановых поверхностях ................... 251
Глава VIII. Аналитические функции на замкнутых римановых поверхностях ..................260
§ 1. Предварительные предложения.............260
§ 2. Гармонические и аналитические функции на замкнутых абстрактных римановых поверхностях..........266
§ 3. Алгебраические функции и абелевы интегралы.....284
Глава IX. Аналитические функции на открытых римановых поверхностях ......................290
§ 1. Гармоническая мера идеальной границы. Функция Грина римановой поверхности.................292
§ 2. Свойства аналитических и гармонических функций и дифференциалов на римановой поверхности с нулевой границей ......................311
§ 3. Гармонические функции с заданными особенностями на римановых поверхностях с нулевой границей ......322
§ 4. Абелевы дифференциалы и интегралы на римановых поверхностях с нулевой границей ............. 325
§ 5. Аналитическая функция, соответствующая заданной римановой поверхности...................331
Глава X. Регулярно исчерпываемые и нормально исчерпываемые римановы поверхности ................343
§ 1. Теория накрывающих поверхностей по Л. Альфорсу . . . 343
§ 2. Регулярно исчерпываемые римановы поверхности .......373
§ 3. Нормально исчерпываемые римановы поверхности .... 400
Предметный указатель ........ .......... 411
