Тимофеева И.Л. Математическая логика. Курс лекций: Учеб. пособие для тудентов вузов / И. Л. Тимофеева. — 2-е изд., перераб. — М., 2007. — 304 с.
Пособие написано в соответствии с действующей программой по математической логике для педагогических вузов. Рассмотрены следующие темы: язык логики высказываний, исчисления высказываний, язык логики предикатов, исчисления предикатов, теории первого порядка. Центральное место занимает изложение основ теории доказательств. Отдельный раздел посвящен проблемам оснований математики.
Курс лекций предназначен для студентов математических факультетов педвузов, изучающих математическую логику, а также для преподавателей, читающих лекционный курс и ведущих практические занятия по математической логике.
Оглавление
Предисловие..................................................5
Введение .....................................................8
Некоторые часто используемые обозначения......................11
Глава 1. Язык логики высказываний............................12
§ 1.1. Высказывания и операции над ними.......................12
§ 1.2. Формулы языка логики высказываний......................16
§ 1.3. Формулы и истинностные функции......................23
§ 1.4. Тавтологии............................................30
§ 1.5. Равносильные формулы...................................33
§ 1.6. Семантическое следование..............................37
§ 1.7. Разрешимость языка логики высказываний................40
Глава 2. Исчисления высказываний. Пропозициональные системы естественного вывода.............43
§ 2.1. Логическая структура математических доказательств ... 43
§ 2.2. Правила заключения........................................49
§ 2.3. Деревья формул...........................................53
§ 2.4. Деревья вывода..........................................56
§ 2.5. Отношение N-выводимости...................................67
§ 2.6. Принцип индукции для деревьев вывода......................77
§ 2.7. Характеристики систем естественного вывода...............90
§ 2.8. Производные и допустимые правила...........................98
§ 2.9. Дедуктивная полнота......................................107
§ 2.10. Схемы доказательства от противного и приведением к нелепости..............109
§ 2.11. Интерпретации языка логики высказываний............................115
§ 2.12. Независимость правил заключения........................122
§ 2.13. Исчисления высказываний гильбертовского типа............133
Глава 3. Язык логики предикатов ...............................140
§ 3.1. Предикаты и высказывательные формы......................141
§ 3.2. Язык логики предикатов и его фрагменты...................146
§ 3.3. Интерпретации языка логики предикатов ..................156
§ 3.4. Общезначимые и выполнимые формулы....................165
§ 3.5. Сравнение формул по силе. Равносильные формулы... 174
§ 3.6. Семантическое следование в логике предикатов...................180
§ 3.7. Приложение логики предикатов к исследованию математических рассуждений........184
§ 3.8. Проблема общезначимости в логике предикатов....................188
Глава 4. Исчисления предикатов. Предикатные системы естественного вывода................190
§ 4.1. Кванторные правила заключения.....................190
§ 4.2. Определение дерева PN-вывода...............................195
§ 4.3. Отношение PN-выводимости и его свойства................................198
§ 4.4. Принцип индукции для PN-выводов.......................................203
§ 4.5. Основные характеристики предикатных систем........................208
§ 4.6. Исчисления предикатов гильбертовского типа............................214
§ 4.7. Анализ логической структуры доказательств..................................215
Глава 5. Теории первого порядка..............................................218
§ 5.1. Аксиоматические математические теории..................................218
§ 5.2. Теории первого порядка................................................220
§ 5.3. Модели теорий первого порядка.........................................232
§ 5.4. Характеристики теорий первого порядка.................................236
§ 5.5. Теории первого порядка с равенством.................................241
§ 5.6. Формальная арифметика.............................................246
§ 5.7. Элементарная теория ZF...............................................262
Глава 6. Проблемы оснований математики..................................273
§ 6.1. Парадоксы теории множеств............................................273
§ 6.2. Кризис оснований математики........................................278
§ 6.3. Программа Гильберта обоснования математики......................283
§ 6.4. Интуиционизм. Конструктивизм.......................................288
Литература................................................................294
Предметный указатель.......................................................295
Указатель обозначений и символов.....................................300
Именной указатель.....................................................302
