Трев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М., 1965. – 296 с.
Книга посвящена общей теории дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Главное внимание уделяется локальным свойствам решений, построению и исследованию различных фундаментальных решений, а также разрешимости „в целом". Дано обстоятельное введение в широкий круг современных исследований, в большой степени интересных не только для математиков. Изложение в основном доступно студентам средних курсов физико-математических факультетов.
СОДЕРЖАНИЕ
От редактора русского издания ............................б
Введение ..................................................7
Лекция 1................................................13
§ 1.1. Некоторые подготовительные неравенства .... 13
§ 1.2. Существование фундаментального решения ... 18
§ 1.3. Комментарии и библиография..................23
Лекция 2................................................24
§ 2.1. Сравнение дифференциальных полиномов ... 24
§ 2.2. Правильные фундаментальные решения. Определение. Подготовительные леммы ............27
§ 2.3. Комментарии и библиография..................32
Лекция 3................................................32
§ 3.1. Конструкция фундаментальных решений .... 32
§ 3.2. Дифференциальные полиномы, зависящие от параметра ....................39
§ 3.3. Комментарии и библиография..................47
Лекция 4................................................48
§ 4.1. Семейства одинаково сильных дифференциальных полиномов................................48
§ 4.2. Некоторые условия правильности медленно растущих фундаментальных решений..............54
§ 4.3. Комментарии и библиография..................58
Лекция 5................................................58
§ 5.1. Дифференциальные полиномы, инвариантные относительно вращения..........................61
§ 5.2. Фундаментальное решение оператора Лапласа, инвариантное относительно вращения..........68
§ 5.3. Фундаментальные решения оператора Л — инвариантные относительно вращения............70
§ 5.4. Комментарии и библиография..................73
Лекция 6................................................74
§ 6.1. Оператор Коши—Римана......................74
§ 6.2. Уравнение теплопроводности..................77
§ 6.3. Уравнение Шредингера........................80
§ 6.4. Комментарии и библиография..................82
Лекция 7................................................82
§ 7.1. Дифференциальные полиномы, инвариантные относительно преобразований Лоренца............82
§ 7.2. Обобщенные функции Hk......................88
§ 7.3. Обобщенные функции Sf........................97
§ 7.4. Комментарии и библиография.........100
Лекция 8........................102
§ 8.1. Некоторые вспомогательные предложения . . . 102
§ 8.2. Формальные степенные ряды.........105
§ 8.3. Лемма о неприводимых многочленах..... 112
§ 8.4. Комментарии и библиография.........113
Лекция 9........................114
§ 9.1. Аппроксимационная теорема.........114
§ 9.2. Варианты...................121
§ 9.3. Комментарии и библиография.........126
Лекция 10.......................127
§ 10.1. Существование нулевых решений......127
§ 10.2. Некоторые леммы..............130
Лекция 11........................147
§ 11.1. Плотность нулевых решений.........147
§ 11.2. Комментарии и библиография........155
Лекция 12........................156
§ 12.1. Теорема существования .......156
§ 12.2. Теоремы существования в пространствах обобщенных функций конечного порядка.....162
§ 12.3. Комментарии и библиография........170
Лекция 13........................170
§ 13.1. Теорема существования в (Q).......170
§ 13.2. Обратная теорема..............175
§ 13.3. Комментарии и библиография........179
Лекция 14........................180
§ 14.1. Р-выпуклость................180
§ 14.2. Комментарии и библиография........192
Лекция 15........................192
§ 15.1. Выпуклая оболочка носителя сингулярности .................192
§ 15.2. Р-выпуклые открытые множества, не являющиеся строго Р-выпуклыми.........195
§ 15.3. Комментарии и библиография........202
Лекция 16........................203
§ 16.1. Пространство целых функций и сопряженное к нему пространство.............203
§ 16.2. Теоремы существования и аппроксимации в пространстве целых функций..........206
§ 16.3. Комментарии и библиография........207
Лекция 17........................208
§ 17.1. Теорема существования в пространстве медленно растущих обобщенных функций. Идея доказательства ........208
§ 17.2. Теорема Уитни о продолжении........211
§ 17.3. Приложение теоремы Уитни.........218
§ 17.4. Окончание доказательства теоремы 17.1 ... 220
§ 17.5. Комментарии и библиография........228
Лекция 18........................229
§ 18.1. Эллиптичность и гипоэллиптичность. Определения ....................229
§ 18.2. Свойство ...............233
§ 18.3. Комментарии и библиография........244
Лекция 19........................245
§ 19.1. Характеристические свойства гипоэллиптических дифференциальных полиномов.....245
§ 19.2. Достаточные условия гипозллиптичности . . . 249
§ 19.3. Комментарии и библиография........252
Лекция 20 ................................................253
§ 20.1. Эллиптические дифференциальные полиномы 253
§ 20.2. Свойства гипозллиптических дифференциальных полиномов...............255
§ 20.3. Комментарии и библиография........262
Лекция 21........................262
§ 21.1. Частичная гипоэллиптичность. Определения . . 262
§ 21.2. Характеристическое свойство частично гипоэллиптических дифференциальных полиномов 264
§ 21.3. Окончательная характеристика частично гипоэллиптических дифференциальных полиномов 270
§ 21.4. Комментарии и библиография........273
Дополнение
A. Теорема Зайденберга..............274
B. Теорема единственности Хольмгрена.......281
Сводка основных результатов ............. 283
Основные обозначения.................289
