Васильева А. Б., Медведев Г. Н., Тихонов Н. А., Уразгильдина Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах. — 2-е изд., испр. — М., 2005. — 432 с. — (Курс высшей математики и математической физики. Вып. 10)
Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи с ответами для самостоятельной работы. Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика».
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.................................... 8
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка............................... 9
§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.......... 9
1. Основные понятия и теоремы (9). 2. Примеры решения задач (15). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (21).
§ 2. Элементарные методы интегрирования................ 23
1. Основные понятия и теоремы (23). 2. Примеры решения задач (29). 3. Задачи для самостоятельного решения (44).
§ 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной..................................... 47
1. Основные понятия и теоремы (47). 2. Примеры решения задач (51). 3. Задачи для самостоятельного решения (56).
§ 4. Зависимость решения от параметров.................. 58
1. Основные понятия и теоремы (58). 2. Примеры решения задач (60).
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений...... 63
§ 1. Дифференциальные уравнения высших порядков........ 63
1. Основные понятия и теоремы (63). 2. Примеры решения задач (67). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (69).
§ 2. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме ............................................ 70
1. Основные понятия и теоремы (70). 2. Примеры решения задач (76). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (80).
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения ... 82
§ 1. Линейные однородные уравнения..................... 82
1. Основные понятия и теоремы (82). 2. Примеры решения задач (86). 3. Задачи для самостоятельного решения (90).
§ 2. Линейные неоднородные уравнения................... 91
1. Основные понятия и теоремы (91). 2. Примеры решения задач (97). 3. Задачи для самостоятельного решения (103).
§ 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами ......................................... 104
1. Основные понятия и теоремы (104). 2. Примеры решения задач (107). 3. Задачи для самостоятельного решения (116).
§ 4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами ....................................... 121
1. Основные понятия и теоремы (121). 2. Примеры решения задач (125). 3. Задачи для самостоятельного решения (142).
§ 5. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.......................................... 146
1. Основные понятия и теоремы (146). 2. Примеры решения задач (153). 3. Задачи для самостоятельного решения (160).
§ 6. Операционный метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа............... 161
1. Основные понятия и теоремы (161). 2. Примеры решения задач (169). 3. Задачи для самостоятельного решения (172).
§ 7. Операторный метод Хевисайда решения дифференциальных уравнений...................................... 173
1. Основные понятия и формулы (173). 2. Примеры решения задач (178). 3. Задачи для самостоятельного решения (185).
Глава 4. Системы линейных дифференциальных уравнений ............................................ 187
§ 1. Линейные однородные системы...................... 187
1. Основные понятия и теоремы (187). 2. Примеры решения задач (192). 3. Задачи для самостоятельного решения (194).
§ 2. Линейные неоднородные системы..................... 195
1. Основные понятия и теоремы (195). 2. Примеры решения задач (200). 3. Задачи для самостоятельного решения (203).
§ 3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами ........................................... 203
1. Основные понятия и теоремы (203). 2. Примеры решения задач (209). 3. Задачи для самостоятельного решения (221).
§ 4. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами ......................................... 223
1. Основные понятия и теоремы (223). 2. Примеры решения задач (226). 3. Задачи для самостоятельного решения (238).
Глава 5. Краевая задача для линейного уравнения второго порядка...................................... 240
§ 1. Неоднородная краевая задача....................... 240
1. Основные понятия и теоремы (240). 2. Примеры решения задач (243). 3. Задачи для самостоятельного решения (247).
§ 2. Краевая задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля)...................................... 248
1. Основные понятия и теоремы (248). 2. Примеры решения задач (249). 3. Задачи для самостоятельного решения (253).
Глава 6. Теория устойчивости...................... 254
§ 1. Устойчивость по Ляпунову.......................... 254
1. Основные понятия и теоремы (254). 2. Примеры решения задач (256). 3. Задачи для самостоятельного решения (258).
§ 2. Методы исследования на устойчивость................. 259
1. Основные понятия и теоремы (259). 2. Примеры решения задач (261). 3. Задачи для самостоятельного решения (266).
§ 3. Фазовая плоскость................................ 267
1. Основные понятия и теоремы (267). 2. Примеры решения задач (270). 3. Задачи для самостоятельного решения (279).
Глава 7. Асимптотические методы.................. 281
§ 1. Асимптотика решения дифференциального уравнения по независимому переменному......................... 281
1. Основные понятия и теоремы (281). 2. Примеры решения задач (284). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (286).
§ 2. Асимптотика по параметру Регулярные возмущения...... 287
1. Основные понятия и теоремы (287). 2. Примеры решения задач (290). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (293).
§ 3. Асимптотика по параметру Сингулярные возмущения..... 294
1. Основные понятия и теоремы (294). 2. Примеры решения задач (300). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (310).
Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка.......................................... 313
§ 1. Линейные уравнения.............................. 313
1. Основные понятия и теоремы (313). 2. Примеры решения задач (317). 3. Задачи для самостоятельной работы (327).
§ 2. Квазилинейные уравнения.......................... 328
1. Основные понятия и теоремы (328). 2. Примеры решения задач (330). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (336).
§ 3. Разрывные решения............................... 337
1. Основные понятия и теоремы (337). 2. Примеры решения задач (339).
Глава 9. Вариационное исчисление................. 343
§ 1. Понятие функционала............................. 343
1. Основные понятия и теоремы (343). 2. Примеры решения задач (346). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (348).
§ 2. Вариация функционала............................ 349
1. Основные понятия (349). 2. Примеры решения задач (350). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (351).
§ 3. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума. 352 1. Основные понятия и теоремы (352). 2. Примеры решения задач (353).
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера......................................... 355
1. Основные понятия и теоремы (355). 2. Примеры решения задач (358). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (363).
§ 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления . 365 1. Основные понятия и теоремы (365). 2. Примеры решения задач (367). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (368).
§ 6. Достаточные условия экстремума функционала.......... 371
1. Основные понятия и теоремы (371). 2. Примеры решения задач (375). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (379).
§ 7. Задача с подвижными границами..................... 382
1. Основные понятия и теоремы (382). 2. Примеры решения задач (383). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (385).
§ 8. Условный экстремум.............................. 386
1. Основные понятия и теоремы (386). 2. Примеры решения задач (388). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (394).
Глава 10. Интегральные уравнения................. 395
§ 1. Однородное уравнение Фредгольма II рода............. 396
1. Основные понятия и теоремы (396). 2. Примеры решения задач (398). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (403).
§ 2. Неоднородное уравнение Фредгольма II рода............ 404
1. Основные понятия и теоремы (404). 2. Примеры решения задач (407). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (413).
§ 3. Интегральные уравнения Вольтерра II рода............. 416
1. Основные понятия и теоремы (416). 2. Примеры решения задач (417). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (419).
§ 4. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности
аргументов...................................... 420
1. Основные понятия и теоремы (420). 2. Примеры решения задач (422). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (426).
Список литературы.................................. 428
