Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов-заочников

Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат, фак. / Н. Я. Виленкин, М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов.— М., 1984. — 176 с. — Моск. гос. заоч. пед. ин-т.
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделу «Дифференциальные уравнения» курса «Математический анализ». Она входит в серию пособий по математическому анализу, выходящую под общей редакцией профессора Н. Я. Виленкина («Введение в анализ» (1983 г.), «Дифференциальное исчисление» (1984 г.), «Интегральное исчисление» (1979 г.), «Ряды» (1982 г.) , «Мощность, метрика, интеграл» (1980 г.) «Элементы функционального анализа в задачах» (1978 г.), «Теория аналитических функций» (1985).
Основное внимание в пособии уделяется развитию у студентов навыков решать физические и геометрические задачи с помощью дифференциальных уравнений. Структура пособия обеспечивает самостоятельную работу студентов по изучению данного курса. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными подробно решенными примерами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................... . 3
Введение .....................5
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка и понижение порядка уравнений высшего порядка .... 15
§ 1. Интегрирование некоторых видов дифференциальных
уравнений первого порядка ......... . 15
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ........................15
2. Линейные уравнения первого порядка .............. 22
3. Однородные уравнения ......27
4. Уравнения в полных дифференциалах ..........30
5. Определение типа дифференциального уравнения. 32
Вопросы для самопроверки ............................33
Упражнения ........................................34
§ 2. Решение физических и геометрических задач с помощью
дифференциальных уравнений ....................37»
1. Математическое моделирование ...............37
2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи ......................38
3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений ..........................48
4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории ......................50
5. Решение задач с помощью интегральных уравнений 55
Упражнения ................ ...57
§ 3. Решение некоторых видов дифференциальных уравнений высшего порядка ............ . . 60
1. Понижение порядка дифференциального уравнения. 60
2. Системы дифференциальных уравнений 69
Вопросы для самопроверки .........................70
Упражнения ....... .........................70
Глава II. Теоремы существования и единственности решений
дифференциальных уравнений ..................72
§ 1. Геометрический смысл дифференциальных уравнений
первого порядка и систем таких уравнений ..........72
1. Поле направлений 72
2. Поле направлений и дифференциальные уравнения. 74
3. Особые точки .........................77
Вопросы для самопроверки .....................78
Упражнения ........................................78
§ 2. Теоремы существования и единственности ..........79
1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у' = f (х, у) .... 79
2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка ... 82
3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды. 83
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений ..........................................86
Вопросы для самопроверки ........... . . 88
Упражнения ........................89
§ 3. Общее, частное и особое решения дифференциального
уравнения ......................................90
1. Общее и частное решения дифференциального уравнения ..........................................90
2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у' = f {х, у) . . ......................93
3. Огибающая семейства плоских кривых ..........96
4. Уравнение Клеро ..............................99
Вопросы для самопроверки ....................101
Упражнения .................................101
Глава III. Линейные дифференциальные уравнения высшего
порядка ................... 104
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами 104
1. Линеаризация уравнений и систем уравнений ... 104
2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений ...................... 105
3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства ...................... 108
4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения .............. 111
5. Определитель Вронского ........... 114
6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений .................... 116
7. Формула Остроградского ........... 118
8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения л-го порядка ........ 120
9. Метод вариации произвольных постоянных ... 121
Вопросы для самопроверки ............................124
Упражнения .....................125
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами ..............127
1. Алгебра дифференциальных операторов. Характеристический многочлен ............127
2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 129
3. Решение неоднородного линейного дифференциаль-
ного уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай) ................................134
4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса) ........................................137
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание) ........ 140
Вопросы для самопроверки .......... 146
Упражнения .................. 146
§ 3. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс ......... 147
1. Колебания под действием упругой силы пружины 147
Вопросы для самопроверки ...................156
Упражнения .................... 157
§ 4. Некоторые уравнения математической физики.............. 157
1. Введение ...............157
2. Вывод уравнения колебаний струны 159
3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера 162
Ответы ......... ........ . 167

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗