В. А. Ватутин и др. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Учеб. пособие для вузов/В. А. Ватутин, Г. И. Ивченко, Ю- И. Медведев и др. — 2-е изд., испр. — М., 2003. — 328 с: ил.
Многие читатели желают быстро научиться решать хотя бы простые задачи по теории вероятностей. Авторы книги нашли способ удовлетворить в определенной степени их требования.Материал пособия соответствует программе курса по теории вероятностей н математической статистике для студентов высших учебных заведений и отвечает современному уровню этих дисциплин.
Изложение ведется последовательно в соответствии с рядом основных вероятностных моделей, причем различные главы можно использовать практически изолированно. Такой подход позволяет задавать в данной модели вероятность в явном виде, не излагая аксиоматические основы теории вероятностей.
Для каждой модели приведены краткие теоретические сведения, примеры решения задач и задачи дли самостоятельного решения. Среди прикладных задач имеются задачи по теории страхования и экономике.
Книга может быть использована для нескольких целей:
1. как справочник, позволяющий быстро найти образец решения того или иного класса задач;
2. для самостоятельного изучения теории вероятностей и математической статистики;
3. как основа ознакомительного курса теории вероятностей.
Книга восполняет пробел, образовавшийся в учебной литературе для вузов с облегченным изучением теории вероятностей, и будет полезна как студентам и преподавателям вузов, так и всем тем, кто желает быстро научиться решать стандартные задачи из курса теории вероятностей и математической статистики.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .........................................................................................3
Введение .....................................................................................5
Глава I. Классическая вероятностная модель .............................................7
§ 1. Определение вероятности. События .......................................................7
§ 2. Вероятность суммы событии ...............................................................9
§ 3. Случайные величины ................................................................12
§ 4. Математическое ожидание ....................................................................15
Глава 2. Простейшие вероятностные модели .........................................................18
§ I. Условные вероятности ................................................................................18
§ 2. Независимость событий ....................................................................................21
Глава 3. Вероятностные модели с усреднением вероятностей ................................24
§ 1. Формула полной вероятности ............................................................24
§ 2. Формулы Байеса ..........................................................................26
Глава 4. Урновые схемы ............................................................................28
§ 1. Вероятность произведения событий .....................................................................28
§ 2. Две модели случайного выбора .........................................................................30
§ 3. Более общие модели случайного выбора ................................................................36
Глава 5. Вероятностные модели с конечным числом исходов ..............................38
§ 1. Определение вероятности. Случайные величины ..........................................38
§ 2. Математическое ожидание ...............................................................................41
§ 3. Дисперсия. Неравенство Чебышёва ........................................................................................45
§ 4. Ковариация. Коэффициент корреляции ..........................................................................48
Глава 6. Схема Бернулли ....................................................................................................51
§ 1. Определение вероятности ..........................................................................51
§ 2. Вероятность заданного числа успехов ..........................................................53
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия ......................................................................55
§ 4. Закон больших чисел ...........................................................................56
§ 5. Теорема Пуассона .........................................................................59
§ 7. Задачи из теории страхования .........................................................64
Глава 7. Полиномиальнаа схема ......................................................................69
§ 1. Определение вероятности .............................................................................69
§ 2. Вероятность заданного набора исходов ......................................................................70
§ 3. Математическое ожидание, дисперсия и ковариация ..........................73
Глава 8. Цепи Маркова ......................................................................................75
§ 1. Определение .........................................................................................................75
§ 2. Марковское свойство .........................................................................................79
§ 3. Уравнения Колмогорова ..............................................................................83
§ 4. Предельные вероятности ..............................................................................84
§ 5. Математическое ожидание и дисперсия. Закон больших чисел .... 89
§ 6. Предельная теорема для времени пребывания в состоянии................93
Глава 9. Геометрическая вероятность ...................................................................95
§ 1. Определение вероятности ...............................................................................95
§ 2. Случайные величины ....................................................................................99
§ 3. Функция распределения и плотность распределения вероятностей ...............................................100
§ 4. Математическое ожидание. Дисперсия ............................................................................102
§ 5. Ковариация. Независимость случайных величин ........................................105
Глава 10. Дискретные случайные величины ................................................................109
§ 1. Закон распределения ...........................................................................109
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия ......................................................................113
§ 3. Закон распределения функции от случайной величины ................114
§ 4. Математическое ожидание и дисперсия функций от случайной величины ...................................................115
§ 5. Производящая функция ................................................................................................117
Глава 11. Абсолютно непрерывные случайные величины ....................................................119
§ 1. Функция распределения и плотность распределения вероятностей .........................................................119
§ 2. Математическое ожидание и дисперсия ......................................................................123
§ 3. Закон распределения функции от случайной величины ................124
§ 4. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины ...........................................................127
Глава 12. Двумерные дискретные случайные величины ........................................................129
§ 1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины. Независимость ...........................................129
§ 2. Закон распределения функции от случайной величины ................137
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной
величины. Ковариация ....................................................................................................142
§ 4. Условные распределения случайной величины. Условное математическое ожидание ..............................146
Глава 13. Двумерные абсолютно непрерывные случайные величины ............І5І
§ 1. Двумерные плотности распределения. Независимость ......................151
§ 2. Закон распределения функций от случайных величин ....................160
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайных величин. Ковариация и корреляция ...............169
§ 4. Условные плотности распределения. Условные математические ожидания ............................................178
Глава 14. Случайные последовательности ....................................................................181
§ 1. Закон больших чисел ................................................................................................181
§ 2. Центральная предельная теорема ........................................................................183
Глава 15. Первичная обработка экспериментальных данных ........................................187
§ 1. Задачи математической статистики .....................................................187
§ 2. Выборка ..................................................................................................189
§ 3. Эмпирическая функция распределения ............................................................................192
§ 4. Полигон частот, гистограмма .......................................................................................197
§ 5. Выборочные моменты и квантили ........................................................................................204
§ 6. Выборочный коэффициент корреляции ............................................................................210
Глава 16. Теория оценок ............................................................................................212
§ 1. Оценки, их состоятельность и несмещенность ..............................................212
§ 2. Среднеквадратическая ошибка и эффективность оценки ..............218
§ 3. Метод максимального правдоподобия ............................................................................223
§ 4. Метод моментов .....................................................................................................231
§ 5. Доверительные интервалы ...................................................................................232
Глава 17. Статистическая проверка гипотез ...............................................................................249
§ 1. Постановка задачи ................................................................................................249
§ 2. Наиболее мощный критерий ..................................................................................253
§ 3. Сложные гипотезы ..........................................................................................260
§ 4. Проверка гипотез и доверительное оценивание ......................................264
§ 5. Статистические критерии согласия. Критерий «хи-квадрат» Пирсона ............................................................266
§ 6. Критерий согласия «хи-квадрат» при неизвестных параметрах распределения .......................................................270
§ 7. Критерий согласия Колмогорова ..............................................................................................275
§ 8. Критерий независимости «хи-квадрат» ............................................................................276
§ 9. Критерий однородности данных ................................................................................................280
Глава 18. Ранговые критерии .................................................................................283
§ 1. Критерий знаков .......................................................................................................283
§ 2. Критерий Вилкоксона для проверки однородности двух выборок .................................................................288
§ 3. Ранговая корреляция по Спирмену......................................... 295
Глава 19. Метод наименьших квадратов н регрессия........................ 303
§ 1. Метод наименьших квадратов для простой линейной регрессии.................................................................... 303
§ 2. Проверка статистических гипотез о параметрах простой линейной регрессии.................................................. 309
Таблицы........................................................-............................................ 312
Литература................................................................................................... 322
