Виленкин Н.Я. и др. Ряды. - М., 1982. - 161 с.
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием для студентов-заочников физико-математических факультетов пединститутов по разделам «Ряды» и «Ряды Фурье» программы курса «Математический анализ». Мы не сочли целесообразным, в отличие от действующей сейчас программы, отрывать изучение рядов Фурье от изучения функциональных рядов. Кроме того, мы считали полезным до изучения общей теории числовых и функциональных рядов получить разложение в степенные ряды основных элементарных функций — это позволяет студентам заранее приобрести общую ориентировку в вопросах, с которыми им предстоит познакомиться.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ......................3
Введение .......................5
Глава I. Основные понятия, формула и ряд Тейлора......6
§ 1. Числовые ряды. Сходимость и расходимость числового ряда ...—
1. Числовые ряды ................—
2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды..............7
§ 2. Свойства сходящихся рядов ................11
1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда..........—
2. Свойства сходящихся рядов ..............13
§ 3. Функциональные ряды и их область сходимости..............16
1. Степенные ряды ..............17
2. Тригонометрические ряды ............18
§ 4. Формула Тейлора ..............—
§ 5. Разложение функций в ряд Тейлора.............26
1. Ряд Тейлора .....................—
2. Разложение функции у = lg (1 + х) ..................29
3. Разложение функции у = arctg х ................30
4. Разложение в степенной ряд функции у = ех................—
5. Разложение в степенной ряд функций у = sin х, у = cos х ....—
6. Разложение функции у = (1 + х)а, где х < 1 и а — любое число .........31
7. Разложение других элементарных функций.............33
Глава II. Числовые ряды ................40
§ 6. Признаки сходимости числовых рядов с неотрицательными членами ...........—
1. Признаки сравнения ....................................—
2. Признаки сходимости Даламбера и Коши....................42
3. Интегральный признак сходимости Коши....................44
4. Примеры исследования рядов на сходимость..................47
§ 7. Свойства рядов с неотрицательными членами..................55
1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами .... —
2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами ..............—
§ 8. Знакопеременные ряды ...............58
1. Теорема Лейбница ..............—
2. Абсолютно сходящиеся ряд ............62
3. Свойства абсолютно сходящихся рядов...............63
4. Свойства условно сходящихся рядов..............67
§ 9. Числовые ряды в комплексной области...........69
Г лава III. Функциональные ряды ....................75
§ 10. Область сходимости функциональных рядов................—
§ 11. Равномерная сходимость функциональных рядов................79
1. Введение ....................—
2. Чебышевское расстояние между функциями...........80
3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности ......32
4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса .....83
5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости ............85
§ 12. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов .............87
1. Почленное интегрирование функциональных рядов..........—
2. Почленное дифференцирование функциональных рядов .... 90
§ 13. Функции комплексного переменного. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области..............93
1. Функции комплексного переменного .............—
2. Дифференцирование функций комплексного переменного ... 94
3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области ...........95
Глава IV. Степенные ряды .................97
§ 14. Круг сходимости степенного ряда ................—
1. Теорема Абеля .............—
2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости....98 3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда.....103
§ 15. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенных рядов .........106
1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области ...........—
2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области .......110
3. Единственность разложения функции в степенной ряд ....111
§ 16. Показательная и тригонометрические функции в комплексной области .........114
1. Показательная функция в комплексной области..............—
2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера ..........115
§ 17. Некоторые приложения рядов ...........120
1. Вычисление значений функций и интегралов........—
2. Вычисление пределов ............121
3. Метод последовательных приближений ...........122
Глава V. Ряды Фурье ..........126
§ 18. Ортонормированные системы функций ..................—
1. Введение .............—
2. Скалярное произведение функций..............127
3. Ортонормированные системы функций ...........129
§ 19. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье ............131
1. Коэффициенты Фурье ....................—
2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций.....133
§ 20. Лемма Римана ............135
1. Кусочно гладкие функции ........—
2. Лемма Римана ..............138
§ 21. Достаточные условия сходимости рядов Фурье..........139
1. Формула для частичных сумм ряда Фурье.............—
2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье.....141
3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье .........143
4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье .... —
5. Примеры разложения функций в ряды Фурье................144
Ответы к упражнениям ...............152 [flipbook pdf="https://book.edu-lib.net/books1/Vilenkin_Kunickaja_Matematicheskij_analiz_Rjady.pdf" theme="light" header="Загрузка..."]
