Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики

Виленкин Н.Я. и др. Современные основы школьного курса математики: Пособие для студ-ов пед. инстов. - М., 1980. - 240с.
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием по курсу «Современные основы школьной математики» (СОШМ). Объектом изучения этой дисциплины является курс математики, излагаемый в школе, т. е. так называемая школьная математика. Учебная дисциплина «Методика преподавания математики» тоже имеет своим объектом изучения школьную математику. Однако эти две дисциплины изучают школьную математику с различных точек зрения, т. е. имеют различные предметы изучения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................ 3
Глава I. Методологические основы математики ............. 5
§ 1. Предмет математики и ее характерные черты.......... —
1. О методологии математики (5). 2. Предмет математики (6). 3. Характерные черты математики (7).
§ 2. Основные этапы развития математики ............. 8
1. Введение (8). 2. Зарождение математики (8). 3. Математика постоянных величин (10). 4. Математика переменных величин (13). 5. Современный период развития математики (14). 6. Характерные черты современной математики и перспективы ее развития (18).
§ 3. Математические методы познания .............. 21
1. Математика и действительность (21). 2. Математические модели действительности (21). 3. Понятия числа, фигуры и множества как примеры математических моделей (23). 4. Абстракция отождествления (25). 5. Идеализация и ее роль в математике (26).
§ 4. Аксиоматический метод .................. 28
1. Аксиоматический метод в математике (28). 2. Пример аксиоматизации (29). 3. Общие понятия, связанные с аксиоматическим методом в математике (31). 4. Формальные аксиоматические теории (33). 5. Аксиоматика и математические конструкции (35).
Глава II. Теоретико-множественные аспекты школьной математики .......39
§ 1. «Наивная» и аксиоматическая теории множеств.........
1. «Наивная» теория множеств (39). 2. Аксиоматика Цермело—Френкеля теории множеств (41).
§ 2. Структуры и роды структур ................. 43
1. Декартово произведение множеств (43). 2. Шкала множеств (44). 3. Теоретико-множественное конструирование математических объектов (45). 4. Роды структур (48) 5. Примеры родов структур (49).
§ 3. Теория множеств и школьная математика........... 50
1. Числовые множества школьной математики (50). 2. Точечные множества (52). 3. Роль теории множеств в школьной математике (52). 4. Отношение включения множеств в школьной математике (53). 5) Операции над множествами в школьной математике (54). 6. Декартово произведение множеств в школьной математике (57).
§ 4. Соответствия и отношения в школьной математике....... 59
1. Введение (59). 2. Основные понятия (60). 3. Отношения эквивалентности и классификация (61). 4. Отношения порядка (63). 5. Основные соответствия и отношения и школьной математике и их свойства (65). 6. Отношения эквивалентности в арифметике и алгебре (08). 7. Классы эквивалентности в школьной математике (69). 8. Отношения эквивалентности и группы преобразований (70). 9. Однородные пространства и школьная математика (72).Глава III. Отображения и функции в школьном курсе математики .... 73
§ 1. Отображения и структуры ................. —
1. Основные понятия (73). 2. Морфизмы структур (74). 3. Инвариантные структуры (76). 4. Основные виды отображений, изучаемые в школьной математике (78). 5. Морфизмы структур и операции над отображениями в школьной математике (79). 6. Топологические и метрические пространства в школьной математике (81). 7. Непрерывные и гомеоморфные отображения в школьной математике (82).
§ 2. Числовые функции .................... 83
1. Термы и функции (83). 2. Другие способы задания функций (85). 3. Непрерывные функции в школьной математике (87).4. Множество элементарных функций (89). 5. Показательная функция и изоморфные отображения группы (/?; +) на группы (90). 6. Свойства показательной функции (93). 7. Другие подходы к понятию показательной функции (94). 8. Тригонометрические функции (96). 9. Тригонометрические функции и повороты плоскости (98). 10. Тригонометрические функции и дифференциальные уравнения (100).
§ 3. Отображения конечных множеств и комбинаторика ..........101 1. Основные правила комбинаторики (101). 2. Основные формулы комбинаторики (102).
Глава IV. Алгебраические и арифметические основы школьного курса математики.................106
§ 1. Алгебраические операции и алгебры ............. —
1. Алгебраические операции (106). 2. Обратные операции (108). 3. Основные алгебраические операции школьной математики (111). 4. Алгебры (112). 5. Некоторые роды алгебр (113). 6. Основные типы алгебр в школьной математике (114).
§ 2. Термы и их преобразования ................. 116
1. Термы в алгебрах (116). 2. Степени и кратные (117). 3. Одночлены и коммутативные полугруппы (119), 4. Рациональные термы (120).
§ 3. Упорядочивание алгебр. Симметризация ........... 122
1. Отношение порядка в полугруппах (122). 2. Симметризации алгебр (123). 3. Расширение полуколец (126).
§ 4. Ннтурильные числа...................... 128
I. Вигдение (128). 2. Аксиоматика Пеано (129). 3. Основная теорема об индуктивных построениях (130). 4. Категоричность аксиоматики Пеано (133), 5, Непротиворечивость аксиоматики Пеано (134). 6. Множество на-туршльных чисел как вполне упорядоченное полукольцо (135). 7. Конечные и бесконечные множества (136). 8. Аксиоматика множества штурйльных чисел, основанная на сложении (140).
§ 5. Положительные скалярные величины и положительные действительные числа.......................... 141
1. Аксиоматика множества положительных скалярных величин (141).
2. Непротиворечивость аксиоматики положительных скалярных величин (144). 3. Категоричность аксиоматики положительных скалярных величин (145). 4. Множество /?+ положительных действительных чисел (146).
Глава V. Некоторые вопросы школьной геометрии........... 148
§ 1. Векторное построение геометрии............. —
1. Введение (148). 2. Аксиоматика Вейля (149). 3. Другие варианты аксиоматики Вейля (150). 4. Непротиворечивость и категоричность аксиоматики Вейля (152). 5. Реперы и координаты (153). 6. Прямая (156). 7. Луч (157). 8. Отрезок (158). 9. Плоскость (159). 10. Полуплоскость (161). 11. Измерение длин и углов (163). 12. Движение (164). 13. Точечно-векторные аффинные пространства (167). 14. Аксиоматика Вейля и школьная геометрия (170).
§ 2. Метрическое построение геометрии............... 172
1. Логическая схема построения структуры евклидовой плоскости по Колмогорову (172). 2. Связь аксиоматик Вейля и Колмогорова (177).
§ 3. Измерение геометрических величин.............. 179
1. Общее определение величины (179). 2. Непосредственное измерение величин (180). 3. Измерение объемов в Rk (181). 4. Длина кривой (183). 5. Существование длины кривой (184). 6. Единственность длины (185). 7. Полуненрерывность снизу длины дуги (186). 8. Площадь поверхности (186).
Глава VI. Язык школьной математики................. 188
§ 1. Имя, значение, смысл..................... —
1. Имена (188). 2. Имя и смысл (189). 3. Предложение (191). 4. Константы и переменные (192). 5. Формы (193).
§ 2. Основные знаки школьной математики ....................195
1. Математический язык (195). 2. Математические знаки (197). 3. Алфавит школьной математики (198). 4. Алфавит школьной алгебры (201). 5. Алфавит школьной геометрии (202). 6. Язык начал математического анализа (203). 7. Синтактика языка школьной алгебры (206). 8. Семантика языка школьной алгебры (208). 9. Формулы (208). 10. Термы и формулы в геометрии и началах анализа (209). 11. Элементарные формулы (210).
Глава VII. Логика школьной математики ............... 211
§ 1. Математические предложения .................. —
1. Математические предложения в школьной математике (211). 2. Логическая эквивалентность и логическое следование (212). 3. Полная логическая формулировка (214).
§ 2. Определения ......................... 215
1. Введение (215). 2. Номинальные и реальные определения (216).
3. Определяемое и определяющее (217). 4. Корректные и некорректные определения (219). б. Существование и единственность (220). 6. Дескрипции (221). 7. Аксиоматические определения (222). 8. Классические определения (224). 9. Рекурсивные определения (224).
§ 3. Доказательства ........................ 226
1. Формальные и содержательные доказательства (226). 2. Правила следования (228). 3. Косвенное доказательство (230). 4. Доказательство методом математической индукции (232).
Литература.............................. 234