Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу (часть1)/ Под общ. ред. В. А. Садовничего. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 416 с
Сборник составлен на материале занятий по курсу математического анализа на I курсе механико-математического факультета МГУ и отражает опыт преподавания кафедры математического анализа. Он состоит из двух частей, соответствующих I и II семестру. В каждой части отдельно выделены вычислительные упражнения и теоретические задачи. Первая часть включает построение эскизов графиков функций, вычисление пределов, дифференциальное исчисление функций одного действительного переменного, теоретические задачи. Вторая часть — неопределенный интеграл,определенный интеграл Римана, дифференциальное исчисление функций многих переменных, теоретические задачи. В главах, содержащих вычислительные упражнения, каждый параграф предваряется развернутыми методическими указаниями. В них даны все используемые в этом параграфе определения, формулировки основных теорем, вывод некоторых необходимых соотношений, приведены подробные решения характерных задач, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки. Большая часть задач и упражнений отлична от задач, содержащихся в известном задачнике Б. П. Демидовича. В обе части сборника включено около 1800 упражнений на вычисления и 350 теоретических задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................3
Часть 1. Графики, пределы, дифференциальное исчисление функции одной переменной .................4
Глава I. Построение эскизов графиков функций..............4
§ 1. Элементарные преобразования графиков..............4
§ 2. Графики рациональных функций.........14
§ 3. Графики алгебраических функций........16
§ 4. Обратные тригонометрические функции и их графики ........20
§ 5. Кривые, заданные параметрически ........25
§ 6. Полярная система координат и уравнения кривых в этой системе........29
§ 7. Функции, заданные неявно...........31
Задачи ................34
Глава II. Вычисление пределов............48
§ 1. Предел функции .............48
§ 2. Предел последовательности ..........67
§ 3. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора .........70
Задачи .............77
Ответы.................87
Глава III. Дифференциальное исчисление функций одного действительного переменного...........89
§ 1. Вычисление производных...........89
§ 2. Дифференциал функции и инвариантность его формы ........101
§ 3. Приложения дифференциального исчисления.........103
Касательные и нормали к кривым.........103
Возрастание и убывание функции.........110
Формула Тейлора, правило Лопиталя........113
Исследование функций и построение кривых......117
Задачи ..............122
Ответы ..............133
Глава IV. Теоретические задачи ..........144
§ 1. Общие свойства числовых множеств на прямой.....144
§ 2. Последовательности и их свойства........148
§ 3. Функции. Общие свойства ........
§ 4. Предел и непрерывность функций.........154
§ 5. Дифференцируемость функций.........159
Ответы, решения, указания ...........162
Часть 11. Неопределенный и определенный интегралы. Дифференциальное исчисление функций многих переменных......174
Глава I. Неопределенный интеграл...........174
§ 1. Первообразная и простейшие способы ее нахождения .......174
Задачи................177
§ 2. Интегрирование по частям ..........180
Задачи .............181
§ 3. Замена переменного ............182
§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен .......190
Задачи ..............193
§ 5. Интегрирование рациональных дробей.......194
Задачи................203
§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций .........204
Задачи................208
§ 1. Интегрирование выражений, содержащих радикалы ........209
Задачи................218
§ 8. Задачи на различные методы интегрирования.......219
Ответы.................223
Глава II. Определенный интеграл Римана.........236
§ 1. Вычисление определенного интеграла. Понятие несобственного интеграла............236
§ 2. Площадь плоской области..........246
§ 3. Объем тела вращения ...........254
§ 4. Длина дуги кривой............265
§ 5. Площадь поверхности вращения.........270
Задачи ................276
Ответы................283
Глава III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных ......286
§ 1. Предел и непрерывность...........286
§ 2. Производная, первый дифференциал, частные производные .......291
§ 3. Дифференцирование сложных функций.......300
§ 4. Производные высших порядков. Второй дифференциал ........303
§ 5. Дифференцирование неявных функций .......310
§ 6. Замена переменных . ...........320
§ 7. Геометрические приложения..........329
§ 8. Экстремумы функций многих переменных......336
Задачи .................351
Ответы.................369
Глава IV. Теоретические задачи.........381
§ I. Первообразная и определенный интеграл Римана ....381
Ответы и указания .............391
§ 2. Функции многих переменных..........401
Ответы и указания ...........408
