Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике

Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. Изд. 2-е, испр. и дополн. Серия: «Современные физико-технические проблемы». - М.: изд-во «Наука»,1979. - 320 с.
Кроме общей теории обобщенных функций, включающей преобразования Фурье и Лапласа, а также другие интегральные преобразования, в книге содержится ряд приложений к дифференциальным уравнениям в частных производных, голоморфным функциям многих комплексных переменных и математической физике, вплоть до некоторых последних достижений в этих областях.
Книга представляет собой расширенное изложение курсов лекций, читанных автором в течение ряда лет студентам, аспирантам и сотрудникам Московского физико-технического института и Математического института им. В. А. Стеклова, и предназначена для лиц, интересующихся приложениями обобщенных функций.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ........................... 8
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.................И
Глава I. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. Основные и обобщенные функции.................15
1. Введение (15). 2. Пространство основных функций 3) (О) (17). 3. Пространство обобщенных функций (О) (21). 4. Полпота пространства обобщенных функций Ф' (О) (23). 5. Носитель обобщенной функции (25). 6. Регулярные обобщенные функции (27). 7. Меры (29). 8. Формулы Сохоцкого (33). 9. Замены переменных в обобщенных функциях (35). 10. Умножение обобщенных функций (37).
§ 2. Дифференцирование обобщенных функций.............38
1. Производные обобщенных функций (38). 2. Первообразная обобщенной функции (40). 3. Примеры (42). 4. Локальная структура обобтценнпых функций (48). 5. Обобщенные функции с компактным носителем (50). 6. Обобщенные функции с точечным носителем (51).
§ 3. Прямое произведение обобщенных функций............ 53
1. Определение прямого произведения (53). 2. Свойства прямого произведения (56). 3. Некоторые применения (59). 4. Обобщенные функции, гладкие по части переменных (61).
§ 4. Свертка обобщенных функций...................64
§ 5. Обобщенные функции медленного роста..............90
1. Пространство основных функций & (быстро убывающих) (90). 2. Пространство обобщенных функций (медленного роста) (93). 3. Примеры обобщенных функций медленного роста и простейшие операции в (94). 4. Структура обобщенных функций медленного роста (96). 5. Прямое произведение обобщенных функций медленного роста (98). 6. Свертка обобщенных функций медленного роста
Глава II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 6. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста . . . 103
1. Преобразование Фурье основных функций из У (ЮЗ). 2. Преобразование Фурье обобщенных функций из 9Р' (104). 3. Свойства преобразования Фурье (106). 4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем (107). 5. Преобразование Фурье свертки (108). 6. Примеры (109).
§ 7. Ряды Фурье периодических обобщенных функций.........120
1. Определение и простейшие свойства периодических обобщенных функций (120). 2. Ряды Фурье периодических обобщенных функций (123). 3. Сверточная алгебра (124). 4. Примеры (126).
§ 8. Положительно определенные обобщенные функции.........128
1. Определение и простейшие свойства положительно определенных обобщенных функций (128). 2. Теорема Бохнера — Шварца (130). 3. Примеры (132).
§ 9. Преобразование Лапласа обобщенных функций медленного роста . . 133
1. Определение преобразования Лапласа (133). 2. Свойства преобразования Лапласа (136). 3. Примеры (137).
§ 10. Ядро Коши и преобразования Кошм — Бохнера и Гильберта .... 140
§ 11. Ядро Пуассона и преобразование Пуассона............160
1. Определение и свойства ядра Пуассона (160). 2. Пресбрачование и представление Пуассона (162), 3. Граничные значения интеграла Пуассона (165).
§ 12. Алгебры голоморфных функций..................168
§ 13. Уравнения в сверточных алгебрах.................180
Глава III. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
§ 14. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами . . . 190
§ 15. Задача Коши...........................213
1. Обобщенная задача Коши для гиперболического уравнения (213). 2. Волновой потенциал (216). 3. Поверхностные волновые потенциалы (220). 4. Задача Коши для волнового уравнения (223). 5. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности (225). 6. Тепловой потенциал (225). 7. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности (229).
§ 16. Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью в Тс ......230
§ 17. Голоморфные функции с неотрицательной мнимой частью в Тn ......252
§ 18. Положительно вещественные матрицы-функции в Тс........271
§ 19. Линейные пассивные системы..................277
1. Введение (277). 2. Следствия из условия пассивности (280). 3. Необходимые и достаточные условия пассивности (283). 4. Многомерные дисперсионные соотношения (288). 5. Фундаментальное решение и задача Коши (292). 6. Какие дифференциальные и разностные операторы являются пассивными операторами? (295). 7. Примеры (298).
§ 20. Абстрактный оператор рассеяния.................302
1. Определение и свойства абстрактной матрицы рассеяния (302). 2. Описание абстрактных матриц рассеяния (305). 3. Связь между пассивными операторами и операторами рассеяния (306).
ЛИТЕРАТУРА............................310
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.....................315