Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч. 2/Каченовский М. .И., Колягин Ю. М., Кутасов А. Д., Луканкин Г. Л. и др.; Под ред. Г. Н. Яковлева.—3-е изд., перераб. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 272 с.
Является второй частью учебника «Алгебра и начала анализа», написанного в соответствии с действующей программой по математике для техникумов на базе неполной средней школы. Книга существенно переработана и сокращена: упрощено изложение, приведена в порядок система упражнений, ряд обязательных тем из второй части перенесен в первую, а именно: неопределенный интеграл, определенный интеграл и его приложения.
Для учащихся техникумов на базе неполной средней школы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................7
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ............ 9
§ 1. Определение комплексных чисел ............ 9
1. Предварительные замечания (9). 2. Определение комплексного числа. Свойства операций над комплексными числами (11). 3. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом (16).
Вопросы для контроля................ 18
Упражнения 1.1 — 1.13................ 19
§ 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль
и аргументы комплексного числа............ 20
1. Комплексная плоскость (20). 2. Модуль комплексного числа (22). 3. Аргументы комплексного числа (24),
Вопросы для контроля................ 25
Упражнения 1.14—1.26................ 25
§ 3. Различные формы записи комплексных чисел. Операции 26 над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.....................26
1. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа (26). 2. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (29). 3. Возведение в степень и извлечение корня (30). 4. Комплексная степень числа е (33).^ 5. Показательная форма записи комплексного числа (34):.
Вопросы для контроля................ 36
Упражнения 1.27—1.42 ....................37
Г л а в а 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ..... 40
§ 4. Примеры дифференциальных уравнений........ 40
1. Размножение бактерий (40). 2. Радиоактивный распад (42). 3. Общие замечания об уравнениях образования и распада вещества (43). 4. Дифференциальное уравнение кривой, которая в каждой своей точке имеет заданную касательную (44).
Вопросы для контроля ............45
Упражнения 2.1 — 2.8.............. . . . 45,
§ 5. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка ........................46
Вопросы для контроля..................................48
Упражнения 2.9—2.12................................49
§ 6. Уравнения с разделяющимися переменными...... 49
1. Определения и примеры (49). 2. Правило нахождения общего решения (52).
Вопросы для контроля................ 55
Упражнения 2.13—2.19................ 55
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 56
1. Линейные однородные уравнения (56). 2. Общее решение линейного уравнения первого порядка (57). 3. Метод вариации постоянной (59).
Вопросы для контроля................ 60
Упражнения 2.20—2.23 ................ 60
§ 8. Примеры дифференциальных уравнений второго порядка 61 1. Уравнение движения точки (61). 2. Движение точки под действием постоянной силы (62). 3. Движение точки под действием периодической силы (64). 4. Движение точки под действием силы, пропорциональной скорости
Вопросы для контроля................ 66
Упражнения 2.24—2.29 ......... ,...... 66
§ 9. Гармонические колебания............... 67
1. Уравнение гармонических колебаний (67). 2. Колебания точки под действием упругой силы (69). 3. Колебания математического маятника (70).
Вопросы для контроля................. 72
Упражнения 2.30—2.33 ................ 72
§ 10. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.................73
1. Дифференциальные уравнения второго порядка (73).
2. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами (73). 3. Характеристическое уравнение (75). 4. Случай комплексных решений характеристического уравнения (76). 5. Случай, когда характеристическое уравнение имеет одно решение (77). 6. Неоднородные линейные уравнения (78).
Вопросы для контроля ................ 79
Упражнения 2.34—2.37................ 80
Глава 3. КОМБИНАТОРИКА И ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ
СТЕПЕНИ БИНОМА................. 81
§ 11. Основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания.......................81
1. Примеры простейших комбинаторных задач. Понятие выборки (81). 2. Размещения и перестановки (84). 3. Сочетания (87).
Вопросы для контроля................ 89
Упражнения 3.1 — 3.20 ....................89
§ 12. Формула Ньютона.................. 90
Вопросы для контроля.............. . . 95
Упражнения 3.21—3.34.....................95
Глава 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ..... 97
§ 13. Случайные события. Вероятность события...... . 97
1. Случайные события и операции над ними (97). 2. Опыт с равновероятными исходами. Классическое определение вероятности события (101).
Вопросы для контроля................ 105
Упражнения 4.1—4.8................. 106
§ 14. Основные теоремы и формулы теории вероятностей .......106
1. Теорема сложения (106). 2. Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий (108). 3. Формула полной вероятности (114). 4. Формулы Байеса (116).
Вопросы для контроля................ 118
Упражнения 4.9—4.30................ 119
§ 15. Формула Бернулли.................. 121
Вопросы для контроля................ 125
Упражнения 4.31—4.38................ 125
§ 16. Случайные величины.................. 126
1. Закон распределения случайной величины (126). 2. Биномиальное распределение(128). 3. Математическое ожидание случайной величины (129). 4. Дисперсия случайной величины (131). 5. Понятие о законе больших чисел (134). 6. Неравенство Чебышева и доказательство закона больших чисел в форме Бернулли (135).
Вопросы для контроля . .............. 139
Упражнения 4.39-4.53 ................ 139 .
Г л а в а 5. ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ....... 141
§ 17. Числовые ряды.................... 141
1. Определение ряда него суммы (141). 2. Ряды с неотрицательными членами (145). 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (149). 4. Последовательности и ряды с комплексными членами (152).
Вопросы для контроля................ 156
Упражнения 5.1—5.5 . ................ 156
§ 18. Степенные ряды.................... 157
1. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда (157). 2. Степенные ряды с действительными членами (162).
Вопросы для контроля................ 165
Упражнения 5.6—5.8........................165
§ 19. Ряды Тейлора.................... 165
1. Формула Тейлора (165). 2. Формула Тейлора для некоторых элементарных функций (170). 3. Ряды Тейлора (173). 4. Функции sin z и cos z (176).
Вопросы для контроля................ 177
Упражнения 5.9—5.12................ 177
Глава 6. РЯДЫ ФУРЬЕ................. 179
§ 20. Ряды Фурье для периодических функций с периодом
........................ 179
1. Постановка задачи и определение ряда Фурье (179).
2. Теорема о сходимости ряда Фурье (185). 3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций (188). 4. Разложение функций, заданных на отрезке вида [а; а+2pi] (191).
Вопросы для контроля....................194
Упражнения 6.1—б.б................ 195
§ 21. Ряды Фурье для периодических функций с произвольным
периодом ................ 196 .
1. Определение ряда Фурье (196). 2. Ряды Фурье для четных и нечетных функций (199). 3. Разложение функций, заданных на отрезке вида [а; а+2/] (201).
Вопросы для контроля................ 202
Упражнения 6.6—6.10...................202
§ 22. Комплексная форма рядов Фурье........... 203
1. Ряды Фурье для функций с периодом 2pi (203). 2. Ряды Фурье для функций с произвольным периодом Т=2pi (208).
Вопросу для контроля...................10
Упражнения 6.1—6.13............
Г л а в а 7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И КРАТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ.................... 211
§ 23. Функции многих переменных............. 211
1. Определение функции многих переменных (211). 2. Непрерывность функций многих переменных (212). 3. Частные производные (213). 4. Пределы функций многих переменных (215). 5. Дифференциалы функций многих переменных (216).
Вопросы для контроля................ 218
Упражнения 7.1 — 7.10...................219
§ 24. Кратные интегралы .................. 219
1. Определение и свойства двойного интеграла (случай прямоугольника) (219). 2. Сведение двойного интеграла к повторному (случай прямоугольника) (221), 3. Определение двойного интеграла для произвольной области (223). 4. Тройные интегралы (225).
Упражнения 7.11 — 7.16................ 226
§ 25. Приложения кратных интегралов............ 226
1. Масса плоской пластинки переменной плотности (226).
2. Объем тела (228). 3. Масса тела переменной плотности
Упражнения 7.17—7.19................ 230
Глава 8. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 231
§ 26. Основные понятия и задачи математической статистики 231
1. Предмет математической статистики (231). 2. Выборки и выборочные распределения (232). 3. Графические изображения выборки. Полигон и гистограмма (236). 4. Выборочные характеристики (239).
Вопросы для контроля................................242
Упражнения 8.1 —8.16 ......................242
§ 27. Статистические оценки неизвестных параметров..........244
1. Точечные оценки. Несмещенность и состоятельность оценки (244). 2. Интервальные оценки (247).
Вопросы для контроля ................................249
Упражнения 8.1-8.23 ................................249
§ 28. Обработка результатов измерений методом наименьших
квадратов..............................................250
Вопросы для контроля................................255
Упражнения 8.24—8.26 ............... . 255
ОТВЕТЫ . ........................................257
ПРИЛОЖЕНИЕ...............................271
