Зорин В. А. Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. — М., 2002. —XVI+ 664 с. Библ.: 52 назв. Илл.: 65.
Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловия к четвертому и третьему изданиям..............................IX
Предисловие ко второму изданию..................................................X
Из предисловия к первому изданию................................................XII
Глава I. Некоторые общематематические понятия........ 1
§ 1. Логическая символика........................... 1
1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (3). 3. Некоторые специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (4).
Упражнения .................................. 5
§ 2. Множества и элементарные операции над множествами..... 5
1. Понятие множества (5). 2. Отношение включения (8). 3. Простейшие операции над множествами (9).
Упражнения.................................. 12
§3. Функция.................................... 13
1. Понятие функции (отображения) (13). 2. Простейшая классификация отображений (18). 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения (20). 4. Функция как отношение. График функции (22).
Упражнения .................................. 26
§ 4. Некоторые дополнения.......................... 29
1. Мощность множества (кардинальные числа) (29). 2. Об аксиоматике теории множеств (32). 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств (34).
Упражнения .................................. 37
Глава II. Действительные (вещественные) числа.......... 40
§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел................................. 41
1. Определение множества действительных чисел (41). 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел (45). 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (50).
§2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами.......... 52
1. Натуральные числа и принцип математической индукции (52).
2. Рациональные и иррациональные числа (56). 3. Принцип Архимеда (60). 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами (62).
Задачи и упражнения............................ 76
§3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел............. 81
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора) (81).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега) (82).
3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрас-са) (83).
Задачи и упражнения............................ 84
§ 4. Счетные и несчетные множества.................... 85
1. Счетные множества (85). 2. Мощность континуума (87).
Задачи и упражнения............................ 88
Глава III. Предел................................. 91
§ 1. Предел последовательности........................ 92
1. Определения и примеры (92). 2. Свойства предела последовательности (94). 3. Вопросы существования предела последовательности (99). 4. Начальные сведения о рядах (110). Задачи и упражнения............................ 121
§ 2. Предел функции............................... 124
1. Определения и примеры (124). 2. Свойства предела функции (130). 3. Общее определение предела функции (предел по базе) (148). 4. Вопросы существования предела функции (153). Задачи и упражнения............................ 171
Глава IV. Непрерывные функции..................... 175
§ 1. Основные определения и примеры ................... 175
1. Непрерывность функции в точке (175). 2. Точки разрыва (181).
§ 2. Свойства непрерывных функций.................... 184
1. Локальные свойства (184). 2. Глобальные свойства непрерывных функций (186).
Задачи и упражнения............................ 197
Глава V. Дифференциальное исчисление................ 202
§ 1. Дифференцируемая функция....................... 202
1. Задача и наводящие соображения (202). 2. Функция, дифференцируемая в точке (208). 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала (211). 4. Роль системы координат (214). 5. Некоторые примеры (216).
Задачи и упражнения............................ 222
§2. Основные правила дифференцирования................ 224
1. Дифференцирование и арифметические операции (224).
2. Дифференцирование композиции функций (228). 3. Дифференцирование обратной функции (232). 4. Таблица производных основных элементарных функций (238). 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции (238). 6. Производные высших порядков (243).
Задачи и упражнения............................ 247
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления........ 248
1. Лемма Ферма и теорема Ролля (248). 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (251). 3. Формула Тейлора (255). Задачи и упражнения............................ 270
§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления ........................................ 274
1. Условия монотонности функции (274). 2. Условия внутреннего экстремума функции (276). 3. Условия выпуклости функции (282). 4. Правило Лопиталя (291). 5. Построение графика функции (293).
Задачи и упражнения...................... 303
§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций .......307 1. Комплексные числа (307). 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами (312). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций (317). 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность (321). 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел (326).
Часть 1
Задачи и упражнения............................ 334
§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания............... 335
1. Движение тела переменной массы (336). 2. Барометрическая формула (338). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел (340). 4. Падение тел в атмосфере (343). 5. Еще раз о числе е и функции ехра: (345). 6. Колебания (348). Задачи и упражнения....................... 352
§ 7. Первообразная................................ 356
1. Первообразная и неопределенный интеграл (357). 2. Основные общие приемы отыскания первообразной (359). 3. Первообразные рациональных функций (366). 4. Первообразные вида f R(cos х, sin х) dx (371). 5. Первообразные вида fR(x,y(x))dx (373).
Задачи и упражнения........................ 377
Глава VI. Интеграл..................... 383
§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых
функций..................................... 383
1. Задача и наводящие соображения (383). 2. Определение интеграла Римана (385). 3. Множество интегрируемых функций (387). Задачи и упражнения...................... 402
§2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла...... 404
1. Интеграл как линейная функция на пространстве ] (404).
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (405). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (408).
Задачи и упражнения..................... 417
§ 3. Интеграл и производная.................. 418
1. Интеграл и первообразная (418). 2. Формула Ньютона - Лейбница (421). 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора (422). 4. Замена переменной в интеграле (425). 5. Некоторые примеры (427).
Задачи и упражнения............................ 432
§ 4. Некоторые приложения интеграла................... 436
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл (436). 2. Длина пути (438). 3. Площадь криволинейной трапеции (446). 4. Объем тела вращения (447). 5. Работа и энергия (448).
Задачи и упражнения............................ 455
§5. Несобственный интеграл......................... 456
1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов (457). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла (462). 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями (469).
Задачи и упражнения............................ 473
Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность ...................................... 476
§ 1. Пространство Rm и важнейшие классы его подмножеств .... 477 1. Множество Мт и расстояние в нем (477). 2. Открытые и замкнутые множества в Rm (478). 3. Компакты в Rm (482). Задачи и упражнения..................... 484
§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных...... 484
1. Предел функции (484). 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций (491). Задачи и упражнения............................ 497
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных...................... 498
§ 1. Линейная структура в Мт ...................... 498
1. Мт как векторное пространство (498). 2. Линейные отображения L: Мш Мп (499). 3. Норма в Мт (500). 4. Евклидова структура в Мт (502).
§ 2. Дифференциал функции многих переменных............ 504
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (504).
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции (505). 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби (509). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке (509).
§3. Основные законы дифференцирования................ 511
1. Линейность операции дифференцирования (511). 2. Дифференцирование композиции отображений (514). 3. Дифференцирование обратного отображения (520).
Задачи и упражнения............................ 522
§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественно-значных функций многих переменных............... 528
1. Теорема о среднем (528). 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных (530). 3. Частные производные высшего порядка (532). 4. Формула Тейлора (535). 5. Экстремумы функций многих переменных (537). 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных (546).
Задачи и упражнения............................ 550
§ 5. Теорема о неявной функции....................... 557
1. Постановка вопроса и наводящие соображения (557). 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции (560). 3. Переход к случаю зависимости F (564). 4. Теорема о неявной функции (567).
Задачи и упражнения............................ 573
§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции......... 577
1. Теорема об обратной функции (577). 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду (582). 3. Зависимость функций (587). 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших (589). 5. Лемма Морса (592). Задачи и упражнения............................ 596
§ 7. Поверхность в Мп и теория условного экстремума......... 597
1. Поверхность размерности к в W1 (598). 2. Касательное пространство (603). 3. Условный экстремум (609).
Задачи и упражнения............................ 624
Некоторые задачи коллоквиумов....................... 630
Вопросы к экзамену..............................636
Литература...........................................641
Предметный указатель...............................645
Указатель имен.............................656
Часть 2
