Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений /Н. В. Богомолов.— 6-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 495 с.
Настоящее пособие (5-е изд.— 2002 г.) представляет собой руководство к решению задач по всем разделам программы по математике для техникумов на базе неполной и полной средней школы.
Основное назначение пособия — помочь студенту самостоятельно, без помощи преподавателя, изучить приемы решения задач по математике, закрепить и углубить навыки, приобретенные при решении этих задач.
Для студентов средних специальных учебных заведений. Может быть использовано студентами колледжей.
Известно, что решение задач по математике у студентов часто бывает сопряжено со многими трудностями. Основное назначение данного пособия состоит в том, чтобы помочь студенту преодолеть эти трудности и научить его решению задач по всем разделам курса математики.
При самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в постоянных консультациях относительно приемов и методов их решения, поскольку найти путь к решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия ему не под силу. Такие консультации студент может получить в этой книге.
В каждом параграфе приведены краткие теоретические сведения, описаны приемы решения типовых задач, даны их классификация и образцы записи решения, а затем следуют задачи для самостоятельного решения, к которым в конце книги даны ответы. После изучения каждой темы приводятся смешанные задачи по этой теме, а также зачетная работа. Такая форма изложения позволяет студенту сначала познакомиться с приемами решения типовых задач и оформлением записи их решений, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................9
Раздел I. Элементы вычислительной математики
Глава 1. Погрешности приближенных значений чисел...................10
§ 1. Абсолютная погрешность приближенного значения числа. Граница абсолютной погрешности.........10
§ 2. Верные цифры числа. Запись приближенного значения числа. Округление приближенных значений чисел...................11
§ 3. Относительная погрешность приближенного значения числа..................13
Глава 2. Действия над приближенными значениями чисел...................14
§ 1. Сложение приближенных значений чисел...............................14
§2. Вычитание приближенных значений чисел..............................15
§ 3. Умножение приближенных значений чисел..........................16
§ 4. Деление приближенных значений чисел.............................17
§ 5. Возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня...........18
§ 6. Вычисления с наперед заданной точностью........................18
§ 7. Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора .......19
§ 8. Решение косоугольных треугольников......................................21
§ 9. Смешанные задачи........................................................24
Раздел II. Алгебра и начала анализа
Глава 3. Системы уравнений и неравенств.....................................25
§ 1. Решение линейных уравнений с одной переменной..........................25
§ 2. Решение линейных неравенств с одной переменной......................28
§ 3. Системы и совокупности неравенств с одной переменной.................29
§ 4. Неравенства с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля......33
§ 5. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными... 34
§ 6. Решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными... 37
§ 7. Решение квадратных уравнений................................................39
§ 8. Свойства корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители..........41
§ 9. Решение уравнений, приводимых к квадратным..............................43
§ 10. Задачи на составление квадратных уравнений.............................45
§ 11. Графическое решение квадратных неравенств..............................46
§ 12. Иррациональные уравнения...............................................48
§ 13. Иррациональные неравенства с одной переменной..........................51
§ 14. Нелинейные системы уравнений и неравенств с двумя переменными .........52
§ 15. Задачи на составление систем уравнений.............................55
§ 16. Простейшие задачи линейного программирования с двумя переменными ........55
Глава 4. Функция. Логарифмическая и показательная функции......................58
§ 1. Функция. Область определения и множество значений функции ....58
§ 2. Логарифмическая функция................................................60
§ 3. Показательные уравнения................................................62
§ 4. Системы показательных уравнений...................................64
§ 5. Показательные неравенства...........................................65
§ 6. Логарифмические уравнения.........................................66
§ 7. Системы логарифмических уравнений..................................68
§ 8. Логарифмические неравенства........................................68
§ 9. Смешанные задачи...................................................69
Глава 5. Бесконечная числовая последовательность. Предел последовательности ....71
§ 1. Бесконечная числовая последовательность...............................71
§ 2. Предел числовой последовательности..............................73
Глава 6. Предел функции................................................76
§ 1. Вычисление предела функции.......................................76
§ 2. Число е. Натуральные логарифмы....................................81
§ 3. Смешанные задачи.................................................82
§ 4. Приращение аргумента и приращение функции......................83
§ 5. Непрерывность функции..........................................84
§ 6. Точки разрыва функции...........................................86
§ 7. Асимптоты ..........................................................87
§ 8. Решение дробно-рациональных неравенств методом промежутков .......89
Глава 7. Производная.............................................92
§ 1. Скорость изменения функции..........................92
§ 2. Производная ....................................................94
§ 3. Основные правила дифференцирования. Производные степени и корня ......95
§ 4. Производная сложной функции.......................................98
§ 5. Физические приложения производной.................................100
§ 6. Производные логарифмических функций...............................102
§ 7. Производные показательных функций.................................103
§ 8. Смешанные задачи.................................................104
Глава 8. Приложения производной к исследованию функций................105
§ 1. Возрастание и убывание функции...................................105
§ 2. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной ..107
§ 3. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной ....110
§ 4. Наименьшее и наибольшее значения функции..........................111
§ 5. Задачи на нахождение наименьших и наибольших значений величин ........111
§ 6. Направление выпуклости графика функции...............................113
§ 7. Точки перегиба.......................................................114
§ 8. Построение графиков функций..........................................115
Глава 9. Тригонометрические функции.......................................118
§ 1. Радианное измерение дуг и углов......................................118
§ 2. Единичная числовая окружность........................................121
§ 3. Тригонометрические функции числового аргумента......................123
§ 4. Знаки, числовые значения и свойства четности и нечетности тригонометрических функций.................124
§ 5. Основные тригонометрические тождества.............................128
§ 6. Периодичность тригонометрических функций...........................132
§ 7. Обратные тригонометрические функции................................134
§ 8. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции....135
§ 9. Тригонометрические уравнения..........................................140
§ 10. Тригонометрические неравенства......................................145
§ 11. Свойство полупериода синуса и косинуса..............................147
§ 12. Формулы приведения...............................................148
§ 13. Смешанные задачи.................................................149
§ 14. Тригонометрические функции алгебраической суммы двух аргументов (формулы сложения)......150
§ 15. Смешанные задачи......................................................154
§ 16. Тригонометрические функции удвоенного аргумента.......................155
§ 17. Тригонометрические функции половинного аргумента......................157
§ 18. Смешанные задачи....................................................169
§ 19. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму...........162
§ 20. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение...........163
§ 21. Преобразования с помощью вспомогательного аргумента..............166
§ 22. Смешанные задачи..................................................................168
§ 23. Вычисление пределов тригонометрических функций. Предел отношения................169
§ 24. Производные тригонометрических функций.....................171
§ 25. Производные обратных тригонометрических функций................................173
§ 26. Вторая производная и ее приложения.............................................174
§ 27. Гармонические колебания............................................175
§ 28. Основные свойства тригонометрических функций..................................177
§ 29. Построение графиков тригонометрических функций...............................177
§ 30. Смешанные задачи...................................................178
Глава 10. Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.....180
§ 1. Вычисление дифференциала функции..............................180
§ 2. Абсолютная и относительная погрешности...........................181
§ 3. Вычисление приближенного числового значения функции................182
§ 4. Формулы для приближенных вычислений..................................183
§ 5. Вычисления по способу строго учета погрешностей.....................184
§ 6. Смешанные задачи....................................................187
Глава 11. Неопределенный интеграл........................................188
§ 1. Основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование ...188
§ 2. Геометрические приложения неопределенного интеграла..................194
§ 3. Физические приложения неопределенного интеграла......................196
§ 4. Интегрирование методом замены переменной.............................198
§ 5. Интегрирование по частям............................................201
§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций..................203
§ 7. Смешанные задачи....................................................204
Глава 12. Определенный интеграл..........................................205
§ 1. Определенный интеграл и его непосредственное вычисление.............205
§ 2. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной .......208
§ 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле...................210
§ 4. Приближенное вычисление определенных интегралов.....................211
Глава 13. Приложения определенного интеграла.............................212
§ 1. Применение определенного интеграла к вычислению различных величин. Площадь плоской фигуры........212
§ 2. Вычисление пути, пройденного точкой..............................219
§ 3. Вычисление работы силы.............................................221
§ 4. Вычисление работы, производимой при поднятии груза.................223
§ 5. Вычисление силы давления жидкости.................................225
§ 6. Длина дуги плоской кривой.........................................227
Глава 14. Комплексные числа............................................229
§ 1. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация.................229
§ 2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме..........233
§ 3. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме......235
§ 4. Показательная функция с комплексным показателем. Формулы Эйлера.............239
§ 5. Смешанные задачи...........................................242
Глава 15. Дифференциальные уравнения..................................243
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.........243
§ 2. Задачи на составление дифференциальных уравнений................................245
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка................248
§ 4. Неполные дифференциальные уравнения второго порядка................250
§ 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами...........253
§ 6. Смешанные задачи.....................256
Глава 16. Элементы комбинаторики и теории вероятностей........................257
§ 1. Элементы комбинаторики..................................................257
§ 2. Случайные события. Вероятность события.................................260
§ 3. Теоремы сложения вероятностей.....................................262
§ 4. Теоремы умножения вероятностей.......................................264
§ 5. Формула полной вероятности. Формула Байеса...........................265
§ 6. Повторение испытаний. Формула Бернулли...............................266
§ 7. Смешанные задачи.....................................................267
Раздел III Геометрия
Глава 17. Векторы на плоскости...........................................268
§ 1. Основные понятия и определения......................................269
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число .... 270
§ 3. Прямоугольная система координат...................................273
§ 4. Длина вектора. Расстояние между двумя точками на плоскости. Углы, образуемые вектором с осями координат...............276
§ 5. Деление отрезка в данном отношении................................278
§ 6. Скалярное произведение двух векторов...............................279
§ 7. Преобразования прямоугольных координат.........................281
§ 8. Полярные координаты............................................283
§ 9. Смешанные задачи...........................................284
Глава 18. Прямая на плоскости и ее уравнения.....................286
§ 1. Общее уравнение прямой. Векторное и каноническое уравнения прямой........286
§ 2. Уравнение прямой в отрезках на осях......................................289
§ 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.................................290
§ 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении......293
§ 5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки..................294
§ 6. Пересечение двух прямых..............................................295
§ 7. Угол между двумя прямыми ..............................296
§ 8. Условие параллельности двух прямых......................................299
§ 9. Условие перпендикулярности двух прямых.................................300
§ 10. Смешанные задачи.......................................................302
Глава 19. Кривые второго порядка............................................304
§ 1. Множества точек на плоскости..........................................304
§ 2. Окружность...........................................................306
§ 3. Эллипс................................................................310
§ 4. Гипербола............................................................312
§ 5. Парабола с вершиной в начале координат...............................315
§ 6. Парабола со смещенной вершиной.......................................318
§ 7. Касательная и нормаль к кривой.......................................321
§ 8. Смешанные задачи.....................................................326
Глава 20. Прямые и плоскости в пространстве.................................327
§ 1. Параллельность прямых и плоскостей....................................327
§ 2. Перпендикулярность в пространстве. Двугранные и многогранные углы.........330
§ 3. Смешанные задачи.......................................................333
Глава 21. Векторы в пространстве..........................................335
§ 1. Основные понятия. Прямоугольная система координат в пространстве.........335
§ 2. Скалярное произведение векторов в пространстве...........................339
§ 3. Векторное произведение...............................................340
§ 4. Смешанные задачи.....................................................342
Глава 22. Уравнения прямой и плоскости в пространстве.....................343
§ 1. Плоскость...........................................................343
§ 2. Прямая в пространстве...............................................347
§ 3. Плоскость и прямая............................................350
§ 4. Смешанные задачи....................................................352
Глава 23. Многогранники и площади их поверхностей...........................353
§ 1. Призма............................................................353
§ 2. Площадь поверхности призмы..........................................355
§ 3. Пирамида. Усеченная пирамида......................................357
§ 4. Площадь поверхности пирамиды и усеченной пирамиды..................360
§ 5. Смешанные задачи...................................................361
Глава 24. Фигуры вращения..............................................363
§ 1. Цилиндр..........................................................363
§ 2. Конус. Усеченный конус.......................................
§ 3. Сфера. Шар......................................................365
§ 4. Вписанная и описанная сферы.......................................
§ 5. Смешанные задачи...............................................369
Глава 25. Объемы многогранников и фигур вращения......................370
§ 1. Объем параллелепипеда и призмы...................................370
§ 2. Объем пирамиды.................................................372
§ 3. Объем усеченной пирамиды.......................................373
§ 4. Исследования на экстремум в задачах на объемы многогранников .........373
§ 5. Объем фигур вращения...........................................374
§ 6. Исследования на экстремум в задачах на объемы фигур вращения.........376
§ 7. Вычисление объемов фигур вращения с помощью определенного интеграла.....378
§ 8. Смешанные задачи..................................................381
Глава 26. Площади поверхностей фигур вращения..............................383
§ 1. Площади боковой и полной поверхностей цилиндра.....................383
§ 2. Площади боковой и полной поверхностей конуса......................384
§ 3. Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса..........385
§ 5. Исследования на экстремум в задачах на площади поверхностей фигур вращения......386
§ 6. Вычисление площадей поверхностей фигур вращения с помощью определенного интеграла...................387
§ 7. Смешанные задачи................................................389
Раздел IV Дополнительные главы
Глава 27. Ряды..........................................................391
§ 1. Числовые ряды........................................................391
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами..................395
§ 3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.........................400
§ 4. Вычисление суммы членов знакочередующегося ряда с заданной точностью и оценка остатка ряда...................403
§ 5. Степенные ряды......................................................405
§ 6. Разложение функций в степенные ряды........................................409
§ 7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям значений функций......416
§ 8. Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов ...............417
Глава 28. Ряды Фурье...........................................................419
§ 1. Тригонометрический ряд Фурье..............................................419
§ 2. Ряд Фурье для нечетной функции.......................................423
§ 3. Ряд Фурье для четной функции.............................................426
§ 4. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в промежутке..................428
§ 5. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в произвольном промежутке..........430
§ 6. Разложение в ряды Фурье некоторых функций, часто встречающихся в электротехнике.....433
Глава 29. Двойные интегралы...................................................435
§ 1. Функции нескольких переменных...................................435
§ 2. Частные производные и полный дифференциал.....................................438
§ 3. Двойной интеграл и его вычисление...........................439
§ 4. Двойной интеграл в полярных координатах...............................447
§ 5. Вычисление площади плоской фигуры....................................450
§ 6. Вычисление объема тела...................................................451
§ 7. Вычисление площади поверхности............................................454
§ 8. Вычисление массы плоской фигуры...........................................459
§ 9. Вычисление статических моментов плоской фигуры............................460
§ 10. Координаты центра тяжести плоской фигуры...............................463
§ 11. Вычисление моментов инерции плоской фигуры.............................466
Ответы ..................................................466
