Крамор В. С. Готовимся к экзамену по математике: Учебное пособие / В. С. Крамор. — М., 2008. — 544 с.: ил.
Книга предназначена для самостоятельного повторения школьного курса математики. Она поможет учащимся систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать в них пробелы. Весь материал разбит на 22 темы, которые содержат: теоретические сведения; контрольные вопросы; упражнения (включая задачи для повторения); методические указания, решения и ответы.
Пособие может быть использовано при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. Оно будет полезно школьникам, абитуриентам и преподавателям.
Содержание
Предисловие................................................................................3
Тема 1. Теоретические сведения
1. Натуральные числа и действия над ними..........................5
2. Сложение и законы сложения............................................5
3. Вычитание..........................................................................6
4. Умножение и законы умножения......................................6
5. Деление..............................................................................7
6. Признаки делимости чисел................................................7
7. Понятие множества............................................................7
8. Операции над множествами..............................................8
9. Взаимно однозначное соответствие....................................9
10. Простые и составные числа................................................9
11. Наибольший общий делитель............................................10
12. Наименьшее общее кратное................................................11
Контрольные вопросы..................................................................11
Упражнения................................................................................12
Ответы..........................................................................................13
Решения и методические указания............................................13
Тема 2. Теоретические сведения
1. Обыкновенные дроби..........................................................16
2. Правильные и неправильные дроби..................................17
3. Основное свойство дроби....................................................17
4. Сравнение дробей. Сокращение дроби................................18
5. Сложение и вычитание дробей..........................................18
6. Умножение дробей..............................................................19
7. Деление дробей..................................................................19
8. Десятичные дроби..............................................................20
9. Обращение десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Периодические дроби ... 21
10. Отношение. Пропорция......................................................22
11. Свойства пропорций..........................................................23
12. Свойства отношений..........................................................23
13. Процент. Основные задачи на проценты............................24
14. Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам................25
Контрольные вопросы..................................................................25
Упражнения................................................................................26
Ответы..........................................................................................27
Решения и методические указания............................................27
Тема 3. Теоретические сведения
1. Координатная прямая........................................................29
2. Множество целых чисел....................................................29
3. Положительные и отрицательные числа............................30
4. Множество рациональных чисел........................................30
5. Модуль числа......................................................................30
6. Сравнение рациональных чисел........................................31
7. Сложение и вычитание рациональных чисел....................31
8. Умножение и деление рациональных чисел......................31
9. Возведение рациональных чисел в степень с натуральным показателем......32
Контрольные вопросы..................................................................32
Упражнения................................................................................33
Задания для повторения..............................................................34
Ответы..........................................................................................34
Решения и методические указания............................................34
Тема 4
Теоретические сведения
1. Свойства степени с натуральным показателем..................37
2. Числовые выражения........................................................38
3. Выражения с переменными................................................38
4. Тождественно равные выражения......................................39
5. Одночлены..........................................................................39
6. Многочлены........................................................................39
7. Преобразование суммы и разности многочленов................40
8. Умножение многочлена на одночлен и многочлена на многочлен.........40
9. Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки.......41
10. Разложение многочлена на множители способом группировки.........41
11. Тождества сокращенного умножения................................42
12. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена. 43
13. Примеры использования различных способов разложения на множители........43
14. Дробь..................................................................................44
Контрольные вопросы..................................................................44
Упражнения................................................................................45
Задания для повторения..............................................................47
Ответы..........................................................................................47
Решения и методические указания............................................48
Тема 5
Теоретические сведения
1. Понятие об иррациональном числе....................................54
2. Множество действительных чисел....................................54
3. Арифметические действия с действительными числами . 55
4. Корень к-й степени из действительного числа..................56
5. Преобразования арифметических корней..........................57
6. Степени с целыми и дробными показателями....................59
7. Примеры применения тождеств сокращенного
умножения к действиям над степенями............................59
Контрольные вопросы..................................................................60
Упражнения................................................................................61
Задания для повторения..............................................................63
Ответы..........................................................................................63
Решения и методические указания............................................63
Тема 6. Теоретические сведения
1. Понятие функции..............................................................73
2. Способы задания функции..................................................74
3. Монотонность функции......................................................74
4. Четные и нечетные функции..............................................75
5. Периодические функции.......................... 76
6. Промежутки знакопостоянства и корни функции............76
7. Уравнения с одной переменной..........................................76
8. Понятие о равносильности уравнений................................77
9. Свойства числовых равенств и теоремы о равносильности уравнений.........77
10. Примеры решения уравнений с одной переменной............78
Контрольные вопросы..................................................................79
Упражнения................................................................................80
Задания для повторения..............................................................81
Ответы..........................................................................................82
Решения и методические указания............................................82
Тема 7. Теоретические сведения
1. Линейная функция и ее график........................................87
2. Квадратичная функция и ее график..................................88
3. Функция у = k/x и ее график................................................89
4. Дробно-линейная функция и ее график............................90
5. Квадратные уравнения......................................................91
6. Теорема Виета....................................................................92
7. Графический способ решения квадратных уравнений ... 92
8. Уравнения с несколькими переменными..........................93
9. Системы уравнений............................................................93
Контрольные вопросы..................................................................95
Упражнения................................................................................97
Задания для повторения..............................................................100
Ответы..........................................................................................100
Решения и методические указания............................................101
Тема 8. Теоретические сведения
1. Неравенства........................................................................122
2. Основные свойства неравенств..........................................123
3. Действия с неравенствами..................................................124
4. Доказательство неравенств................................................124
5. Неравенства, содержащие переменную..............................126
6. Решение линейных и квадратных неравенств....................127
Контрольные вопросы..................................................................129
Упражнения................................................................................130
Задания для повторения..............................................................131
Ответы..........................................................................................131
Решения и методические указания............................................131
Тема 9. Теоретические сведения
1. Системы и совокупности неравенств..................................135
2. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными 137
3. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля......139
4. Решение рациональных неравенств методом интервалов ... 140
5. Расположение корней квадратного трехчлена..................142
Контрольные вопросы..................................................................146
Упражнения................................................................................147
Задания для повторения..............................................................148
Ответы..........................................................................................149
Решения и методические указания............................................149
Тема 10. Теоретические сведения
1. Обратная функция..............................................................159
2. Степенная функция с целым показателем..........................160
3. Функция у = ................................................................162
4. Иррациональные уравнения..............................................162
5. Иррациональные неравенства............................................163
Контрольные вопросы..................................................................164
Упражнения................................................................................165
Задания для повторения..............................................................167
Ответы..........................................................................................168
Решения и методические указания............................................168
Тема 11. Теоретические сведения
1. Понятие о степени положительного числа с иррациональным показателем.........187
2. Показательная функция, ее свойства и график..................188
3. Показательные уравнения..................................................189
4. Показательные неравенства..............................................190
5. Системы показательных уравнений и неравенств..............190
Контрольные вопросы..................................................................192
Упражнения................................................................................193
Задания для повторения..............................................................195
Ответы..........................................................................................196
Решения и методические указания............................................196
Тема 12. Теоретические сведения
1. Понятие логарифма............................................................210
2. Свойства логарифмов..........................................................210
3. Логарифмическая функция, ее свойства и график............211
4. Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию.........212
5. Десятичные логарифмы и их свойства..............................214
6. Логарифмирование и потенцирование..............................215
7. Логарифмические уравнения............................................215
8. Логарифмические неравенства..........................................217
9. Системы логарифмических уравнений и неравенств .... 219
Контрольные вопросы..................................................................221
Упражнения................................................................................222
Задания для повторения..............................................................223
Ответы..........................................................................................224
Решения и методические указания............................................225
Тема 13. Теоретические сведения
1. Арифметическая прогрессия..............................................238
2. Геометрическая прогрессия................................................240
3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |g| меньше 1.....242
Контрольные вопросы..................................................................243
Упражнения................................................................................244
Задания для повторения..............................................................247
Ответы..........................................................................................248
Решения и методические указания............................................248
Тема 14. Теоретические сведения
1. Поворот точки вокруг начала координат............................258
2. Градусное и радианное измерение угловых величин..........259
3. Тригонометрические функции числового аргумента .... 260
4. Знаки тригонометрических функций................................261
5. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.......................262
6. Вычисление значений тригонометрических функций некоторых углов.......................264
7. Четность и нечетность тригонометрических функций . . . 266
8. Периодичность тригонометрических функций..................266
9. Свойства тригонометрических функций............................267
10. Формулы сложения............................................................269
11. Формулы приведения........................................................270
Контрольные вопросы..................................................................271
Упражнения................................................................................272
Задания для повторения..............................................................273
Ответы..........................................................................................274
Решения и методические указания............................................275
Тема 15. Теоретические сведения
1. Тригонометрические функции двойного аргумента..........282
2. Тригонометрические функции половинного аргумента .......284
3. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента..........285
4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.............286
5. Формулы суммы и разности одноименных тригонометрических функций.............288
Контрольные вопросы..................................................................290
Упражнения................................................................................291
Задания для повторения..............................................................292
Ответы..........................................................................................293
Решения и методические указания............................................294
Тема 16. Теоретические сведения
1. Свойства функции у = sin х и ее график............................303
2. Функция у = arcsin х и ее график......................................304
3. Решение уравнения sin х = а..............................................305
4. Свойства функции у = cos х и ее график............................306
5. Функция у = arccos х и ее график......................................307
6. Решение уравнения cos х = а..............................................308
7. Свойства функции у = tg х и ее график..............................309
8. Функция у = arctg х и ее график........................................310
9. Решение уравнения tg х = а..............................................311
10. Свойства функции у = ctg х и ее график............................311
11. Функция у = arcctg х и ее график......................................312
12. Решение уравнения ctg х = а..............................................313
13. Некоторые соотношения для аркфункций........................314
Контрольные вопросы..................................................................316
Упражнения................................................................................317
Задания для повторения..............................................................321
Ответы..........................................................................................322
Решения и методические указания............................................323
Тема 17. Теоретические сведения
1. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.............351
2. Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.......352
3. Решение тригонометрических уравнений, однородных относительно синуса и косинуса...........353
4. Решение тригонометрических уравнений вида a cos х + Ь sin х = с..........354
5. Решение простейших тригонометрических неравенств ......356
Контрольные вопросы..................................................................357
Упражнения................................................................................358
Задания для повторения..............................................................361
Ответы..........................................................................................362
Решения и методические указания............................................364
Тема 18. Теоретические сведения
1. Приращение аргумента и приращение функции................389
2. Предел функции................................................................390
3. Непрерывность функции....................................................392
4. Определение производной..................................................393
5. Производная суммы..........................................................394
6. Производная произведения................................................395
7. Производная частного........................................................395
8. Производная степенной функции......................................396
9. Производная сложной функции........................................396
Контрольные вопросы..................................................................396
Упражнения................................................................................398
Задания для повторения..............................................................398
Ответы..........................................................................................400
Решения и методические указания............................................400
Тема 19. Теоретические сведения
1. Касательная к графику функции......................................407
2. Скорость и ускорение в данный момент времени..............409
3. Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции......................411
4. Критические точки функции, ее максимумы и минимумы.......412
5. Общая схема исследования функции................................414
6. Задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значений функции................417
Контрольные вопросы..................................................................418
Упражнения................................................................................419
Задания для повторения..............................................................423
Ответы..........................................................................................424
Решения и методические указания............................................425
Тема 20. Теоретические сведения
1. Непрерывность тригонометрических функций..................441
2. Первый замечательный предел..........................................441
3. Производные тригонометрических функций....................442
4. Производные логарифмической и показательной функций. Число е........................444
Контрольные вопросы..................................................................445
Упражнения................................................................................446
Задания для повторения..............................................................448
Ответы..........................................................................................448
Решения и методические указания............................................449
Тема 21. Теоретические сведения
1. Первообразная....................................................................462
2. Основное свойство первообразной......................................463
3. Правила нахождения первообразных................................463
4. Площадь криволинейной трапеции....................................464
Контрольные вопросы................................. 465
Упражнения........................................ 466
Задания для повторения............................... 467
Ответы............................................. 469
Решения и методические указания...................... 469
Тема 22. Теоретические сведения
1. Формула Ньютона—Лейбница..................... 483.
2. Основные правила интегрирования.................. 485
3. Вычисление площадей с помощью интеграла.......... 486
4. Физические приложения интеграла................. 488
Контрольные вопросы................................. 491
Упражнения........................................ 491
Задания для повторения............................... 492
Ответы............................................. 493
Решения и методические указания...................... 493
ПРИЛОЖЕНИЕ
Варианты билетов для вступительных письменных экзаменов .... 503
