Супрун В.П. Математика для старшеклассников. Задачи повышенной сложности - М., 2009.
При решении задач, предлагаемых на Централизованном тестировании по математике, а также на вступительных письменных экзаменах, могут быть использованы любые известные абитуриентам методы. При этом разрешается использовать методы, которые не изучаются в общеобразовательной школе (так называемые — нестандартные методы). Как правило, применение нестандартных методов позволяет упрощать решение многих сложных задач школьной математики.
В учебном пособии представлены 300 задач повышенной сложности, решение которых основано на применении указанных выше численных неравенств и метода математической индукции. Некоторые уравнения и неравенства эффективно решаются функциональными методами, выделением полного квадрата, введением параметра или применением тригонометрической подстановки.
Настоящее пособие представляет собой существенно исправленное и дополненное переиздание учебного пособия автора «Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности» (Мн., Аверсэв, 2002). Пособие содержит большое количество новых задач повышенной сложности, многие из которых позаимствованы из материалов Централизованного тестирования и вступительных экзаменов по математике в Белорусском государственном университете (г. Минск) в течение последних пяти лет.
Оглавление
От автора......................................................................5
Глава 1. Применение нестандарных методов
решения уравнений и неравенств............................7
§1.1. Неравенство Коши............................................7
§ 1.2. Неравенство Бернулли........................................8
§1.3. Неравенство Коши—Буняковского......................9
§1.4. Бином Ньютона................................................9
§1.5. Модули............................................................10
§1.6. Тригонометрические преобразования....................11
§1.7. Логарифмы......................................................12
Глава 2. Задачи, встречающиеся на письменных
экзаменах по математике......................................13
§2.1. Делимость чисел................................................13
§2.2. Вычисление суммы............................................15
§2.3. Арифметические вычисления..............................18
§2.4. Алгебраические и тригонометрические
преобразования................................................22
§2.5. Доказательство неравенств..................................25
§2.6. Рациональные уравнения....................................41
§2.7. Иррациональные уравнения................................56
§2.8. Уравнения с модулями........................................84
§2.9. Системы уравнений ..........................................88
§2.10. Решение неравенств.....................113
§2.11. Показательные и логарифмические уравнения ... 118
§2.12. Показательные и логарифмические неравенства . . 128
§2.13. Показательные и логарифмические системы.....133
§2.14. Тригонометрические уравнения и системы......136
§2.15. Тригонометрические неравенства............154
§2.16. Смешанные уравнения и неравенства.........156
§2.17. Неравенства в геометрии..................160
§2.18. Геометрические задачи....................170
§2.19. Экстремальные значения функций...........173
Глава 3. Метод математической индукции.............179
Литература..................................195
