Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и её приложения: Пер. с англ. - М.:Мир, 1972, 318 с.
Монография посвящена изложению основ теории кусочно-полиномиальных приближений и некоторых ее применений. Это новое направление в теории приближений, которое в настоящее время усиленно развивается главным образом американскими математиками. Активное участие в его разработке принимают и авторы монографии, среди которых Дж. Уолш — видный американский ученый, известный советским читателям по переводу его монографии «Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области».
Кусочно-полиномиальные, или, как их теперь называют, сплайн-приближения, имеют ряд преимуществ перед обычными полиномиальными приближениями, в частности при решении задач на быстродействующих вычислительных машинах.
Книга представляет большой интерес для специалистов по теории приближений и по вычислительной математике, а также для инженеров и вычислителей, студентов и аспирантов университетов и институтов с отделениями прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ......................................6
Глава 1. Введение..................................................7
1.1. Что такое сплайн?........................................7
1.2. Последние достижения в теории сплайнов..................8
Глава II. Кубические сплайны....................................13
2.1. Введение..................................................13
2.2. Существование, единственность и наилучшее приближение . . 19
2.3. Сходимость................................................23
2.4. Равные интервалы ........................................38
2.5. Приближенное дифференцирование и интегрирование..........45
2.6. Вычерчивание кривой по точкам............................53
2.7. Приближенное решение дифференциальных уравнений ... 54
2.8. Приближенное решение интегральных уравнений............60
2.9. Дополнительные теоремы существования и сходимости ... 64
Глава III. Внутренние свойства кубических сплайнов................77
3.1. Свойство минимальной нормы..............................77
3.2. Свойство наилучшего приближения..........................79
3.3. Основное тождество ........................................80
3.4. Первое интегральное соотношение..........................81
3.5. Единственность............................................84
3.6. Существование............................................85
3.7. Общие уравнения..........................................86
3.8. Сходимость производных низших порядков..................89
3.9. Второе интегральное соотношение..........................91
3.10. Улучшение оценки порядка сходимости.......... . 92
3.11. Сходимость производных высших порядков................94
3.12. Ограничения на порядок сходимости........................96
3.13. Приложения к теории гильбертова пространства............97
3.14. Сходимость по норме......................................99
3.15. Канонические сеточные базисы и их свойства................102
3.16. Остаточные члены....................................104
3.17. Преобразования, определяемые сеткой......................106
3.18. Связь с ракетной техникой..................................108
Глава IV. Полиномиальные сплайны..............................109
4.1. Определение и основные уравнения........................109
4.2. Равные интервалы........................................123
4.3. Существование............................................131
4.4. Сходимость..............................134
4.5. Сплайны пятой степени дефектов 2 и 3......................141
4.6. Сходимость периодических сплайнов на равномерных сетках . . 145
Глава V. Внутренние свойства полиномиальных сплайнов нечетной степени ............150
5.1. Введение..................................................150
5.2. Основное тождество.................. . . . 151
5.3. Первое интегральное соотношение..........................152
5.4. Свойство минимальной нормы..............................153
5.5. Свойство наилучшего приближения..........................154
5.6. Единственность............................................156
5.7. Определяющие уравнения..................................157
5.8. Существование............................................162
5.9. Сходимость производных низших порядков..................163
5.10. Второе интегральное соотношение..........................165
5.11. Улучшение оценки порядка сходимости......................167
5.12. Сходимость производных высших порядков....................169
5.13. Ограничения на порядок сходимости........................170
5.14. Приложения к теории гильбертова пространства..............171
5.15. Сходимость по норме......................................173
5.16. Канонические сеточные базисы и их свойства..............175
5.17. Ядра и интегральные представления........................178
5.18. Представление и приближение линейных функционалов .... 181
Глава VI. Обобщенные сплайны....................................187
6.1. Введение..................................................187
6.2. Основное тождество........................................188
6.3. Первое интегральное соотношение..........................189
6.4. Свойство минимальной нормы..............................191
6.5. Единственность............................................192
6.6. Определяющие уравнения..................................193
6.7. Существование............................................195
6.8. Наилучшее приближение..................................196
6.9. Сходимость производных низших порядков..................197
6.10. Второе интегральное соотношение............................200
6.11. Улучшение оценки порядка сходимости......................202
6.12. Сходимость производных высших порядков..................204
6.13. Ограничения на порядок сходимости........................206
6.14. Приложения к теории гильбертова пространства..............208
6.15. Сходимость по норме......................................211
6.16. Канонические сеточные базисы..............................213
6.17. Ядра и интегральные представления........................215
6.18. Представление и приближение линейных функционалов . . . 216
Глава VII. Дважды кубические сплайны...............228
7.1. Введение..................................................228
7.2. Частичные сплайны ......................................229
7.3. Связь частичных сплайнов с дважды кубическими сплайнами . . 231
7.4. Основное тождество ......................................232
7.5. Первое интегральное соотношение............................234
7.6. Свойство минимальной нормы..............................234
7.7. Единственность и существование............................235
7.8. Наилучшее приближение..................................236
7.9. Фундаментальные сплайны................................237
7.10. Свойства сходимости ......................................238
7.11. Второе интегральное соотношение ...........................238
7.12. Прямое произведение гильбертовых пространств..............240
7.13. Метод фундаментальных сплайнов..........................243
7.14. Иррегулярные области....................................246
7.15. Представление поверхности ................................249
7.16. Поверхности Кунса........................................252
Глава VIII. Обобщенные сплайны двух переменных..................256
8.1. Введение..................................................256
8.2. Основные определения....................................256
8.3. Основное тождество........................................258
8.4. Типы сплайнов . . . ......................................259
8.5. Первое интегральное соотношение..........................261
8.6. Единственность............................................262
8.7. Существование............................................262
8.8. Сходимость................................................264
8.9. Приложения к теории гильбертова пространства..............265
Литература........................................................267
Добавления. С. В. Стечкин, Ю. Я. Субботин........................270
§ 1. Полиномиальные сплайны первой степени..................270
§ 2. Интерполяционные параболические сплайны................272
§ 3. Полиномиальные сплайны на равномерной сетке . . . . . . 285
§ 4. Некоторые приложения сплайнов............. . 291
§ 5. Многомерный случай.........................304
Литература......................................................307
