Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 512 с.
Книга представляет собой учебник по объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры для университетов, Наряду с традиционной тематикой книга содержит основные сведения из многомерной аналитической геометрии, включая аффинную классификацию гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, в книге излагаются простейшие понятия геометрии «-мерного проективного пространства.
Книга рассчитана на студентов-математиков и студентов-физиков университетов и пединститутов, а также на все категории читателей, серьезно интересующихся математикой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................................................7
Ч А С Т Ь I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ....................9
Глава I. Простейшие понятия аналитической геометрии ..............9
§ 1. Векторы на плоскости и в пространстве ........................9
§ 2. Проекции ............................................................14
§ 3. Коллинеарные и компланарные векторы; координаты вектора
относительно данного базиса ......................................18
§4. Координаты на плоскости и в пространстве ....................23
§5. Прямая линия в плоскости ........................................41
§ 6. Плоскость и прямая в пространстве ..............................55
Глава II. Парабола. Эллипс. Гипербола ..................................69
§ 1. Парабола ............................................................69
§2. Эллипс ................................................................72
§ 3. Гипербола ............................................................75
§ 4. Директрисы эллипса и гиперболы ..................................80
§ 5. Фокальный параметр. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы
в полярных координатах ............................................85
Глава III. Преобразование координат. Движения и аффинные преобразования ..............................................................89
§ 1. Переход от одной аффинной системы координат к другой ... 89
§ 2. Переход от одной прямоугольной системы координат к другой. 91
§ 3. Ориентация пространства (плоскости) ..............................96
§ 4. Углы Эйлера ........................................................103
§ 5. Определение движения и аффинного преобразования плоскости
и пространства ......................................................105
§6. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований ............................ ..... 107
§ 7. Аналитическое выражение аффинных преобразований ............113
Глава IV. Алгебраические линии и поверхности. Комплексная плоскость и комплексное пространство ................................116
§ 1. Определение алгебраических линий и поверхностей ..............116
§ 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании
координат ............................................................119
§ 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей..............124
§ 4. Комплексная плоскость и комплексное пространство............126
§ 5. Распадающиеся линии и поверхности. Цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения............132
Глава V. Различные виды кривых второго порядка ....................140
§1. О линиях, определяемых уравнениями второй степени с двумя
неизвестными ........................................................141
§ 2. Инварианты многочлена второй степени ..........................145
§ 3. Центральный случай ................................................150
§4. Параболический случай: дельта = 0 ....................................153
§ 5. Аффинная классификация кривых второго порядка ..............156
Глава VI- Общая теория кривых второго порядка ....................160
§ 1. Асимптотические направления кривых второго порядка .... 160
§ 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой неасимптотического направления Касательные ....................................165
§ 3. Пересечение кривой второго порядка с прямой асимптогического направления. Геометрическая Характеристика асимптотических
и неасимптотических направлений ................................167
§ 4. Центр кривой второго порядка ....................................169
§ 5. Диаметры кривой второго порядка ................................172
§ 6. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные ..............................................................174
§ 7. Вид уравнения кривой, если оси координат имеют сопряженные
направления ........................................................178
§ 8. Теорема единственности для кривых второго порядка. О полноте
системы ортогональных инвариантов ..............................181
§ 9. Оси симметрии и главные направления кривой второго порядка 186
§ 10. Основная теорема об аффинных преобразованиях................192
Глава VII. Краткое описание различных видов поверхностей второго
порядка ..............................................................195
§ 1. Распадающиеся поверхности ......................................195
§ 2. Цилиндрические поверхности ......................................197
§ 3. Конусы второго порядка ............................................198
§ 4. Эллипсоиды и гиперболоиды ......................................201
§ 5. Параболоиды ........................................................209
§6. Прямолинейные образующие ......................................212
Глава VIIl. Общая теория поверхностей второго порядка. I ..........218
§ 1. Ранг и детерминант малой и большой матрицы многочлена второй степени ..........................................................218
§ 2. Пересечение поверхности второго порядка с плоскостью . . . 220
§ 3. Пересечение поверхности второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Касательные прямые и касательная плоскость. Особые точки поверхности второго порядка ..............222
§ 4. Асимптотические направления, конус асимптотическик направлений, прямолинейные образующие поверхностей второго порядка ...............................226
§ 5. Центр поверхности второго порядка ..............................235
Глава IX. Общая теория поверхностей второго порядка. II ..........240
§ 1. Диаметральные плоскости. Особые направления ................240
§ 2. Диаметральные плоскости поверхностей различных видов . . . 247
§ 3. Сопряженные направления ........................................251
§ 4. Уравнение поверхности второго порядка относительно координатной системы с сопряженными направлениями осей..........253
§ 5. Теорема единственности ............................................254
§ 6. Главные направления ..............................................257
§ 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго
порядка ..............................................................264
§ 8. Аффинная классификация поверхностей второго порядка .... 275
1 часть
Глава X. Проективная плоскость. Кривые второго порядка на проективной плоскости .....................
§ 1. Перспективное соответствие между плоскостью и связкой ... 281
§ 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучей в связке 283
§ 3. Координаты прямой, арифметическая проективная плоскость,
общее определение проективной плоскости ............ 288
§ 4. Принцип двойственности для проективной плоскости ..... 292
§ 5. Проективная система координат в связке и на проективной
плоскости ...................... ........ 296
§ 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости ....................
§7. Кривые второго порядка на проективной плоскости. Теорема
единственности ........................... 315
§ 8. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные;
асимптоты ..............................
§ 9. Проективная классификация кривых второго порядка..... 325
Ч А С Т Ь II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Глава XI. Линейные пространства ............................330
§ 1. Определение линейного пространства ......................330
§ 2. Размерность. Базис. Координаты............335
§ 3. Теорема об изоморфизме между любыми двумя линейными пространствами одной и той же размерности . . . ................338
§ 4. Подпространства линейного пространства. Дальнейшие теоремы о линейной зависимости векторов и о базисе линейного пространства ......................................339
§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств 344
§ 6. Теорема о ранге матрицы ..........................................346
§ 7. Системы линейных однородных уравнений ......................349
§ 8. Комплексификация и овеществление ..............................354
Глава ХII. Аффинное n-мерное пространство ....................3^
§ 1. Определение n-мерного аффинного пространства ................358
§ 2. Системы координат. Арифметическое аффинное пространство.
Изоморфизм всех n-мерных пространств между собой..........360
§3. r-мерные плоскости n-мерного аффинного пространства; r-мерные
параллелепипеды ..................................362
§4. Геометрически независимые системы точек. Барицентрические
коорднматы. Симплексы ............................................366
§ 5. Системы линейных уравнений ......................................372
Глава XIII. Линейные отображения ....................................378
§ 1. Определение и простейшие свойства линейных отображений 378
§ 2. Матрица линейного отображения ..................................380
§ 3. Действия с линейными операторами ..............................382
§ 4. Ядро и образ линейного оператора ..............................384
$ 5. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора ......................................................387
Глава XIV. Линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах ..................................................395
§ 1. Линейные функции ..................................................395
§ 2. Билинейные функции и билинейные формы ...................400
§ 3. Матрица билинейной и квадратичной формы и ее преобразование при переходе к новому базису.............................."^ОЗ
§ 4. Ранг билинейной и квадратичной формы (билинейной и квадратичной функции) ....................................................40в
§ 5. Существование канонического базиса для всякой квадратичной и всякой билинейной функции (приведение квадратичных форм
к каноническому виду>) ............................................408
§ 6. Нормальный вид квадратичной формы ..........................412
§7. Закон инерции для вещественных квадратичных форм .... 413
§ 8. Положительно определенные квадратичные функции и формы 414
Глава XV. Каноническая форма линейного оператора ..................419
§ 1. Жорданова форма....................................................419
§ 2. Лямбда-матрицы. Элементарные преобразования Лямбда-матриц............421
§ 3. Нормальная форма Лямбда-матрицы ....................................423
§ 4. Теорема о приведении матриц оператора к канонической форме 428
Глава XVI. Евклидовы и унитарные пространства....................432
§ 1. Положительно определенные эрмитовы функции в линейном
пространстве..........................................................432
§ 2. Евклидовы и унитарные пространства и их простейшие свойства 436
§ 3. Подпространства унитарных и евклидовых пространств. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция ........ . 439
§ 4. Линейные операторы в унитарном пространстве ................442
§ 5. Структура произвольного линейного оператора в евклидовом
пространстве..........................................................447
Глава XVII. Преобразования аффинного пространства................450
§ 1. Аффинные преобразования ..........................................450
§ 2. Движения аффинного евклидова пространства ......... 454
§ 3. Классификация движений ..........................................457
Глава XVIII. Гиперповерхности второго порядка в n-мерном аффинном
пространстве ........................................................463
§ 1. Общая теория гиперповерхностей второго порядка ............463
§ 2. Классификация гиперповерхностей второго порядка ............471
Глава XIX. Элементы геометрии и-мерного проективного пространства 479
§ 1. Проективное пространство; его плоскости и прямые ............479
§ 2. Проективные координаты. Проективные преобразования .... 481
§ 3. Гиперповерхности второго порядка в n-мерном проективном
пространстве. Теорема единственности ............................486
§ 4. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка 490
§ 5. Проективно-аффинная классификация поверхностей второго
порядка в трехмерном пространстве.....................495
Предметный указатель........................................................505
2 часть
