Амосов А.Л., Дубинский Ю.Л., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие. — М., 1994. — 544 с: ил.
В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто используемые в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений, проблема собственных значений, методы теории приближения функций, численное дифференцирование и интегрирование, поиск экстремумов функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на ЭВМ и оценке достоверности полученных результатов. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций.
Для студентов и аспирантов технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................. 3
Глава 1. Математическое моделирование и решение инженерных задач с применением ЭВМ........ 7
§ 1.1. Математическое моделирование и процесс создания математической модели............. 8
§ 1.2. Основные этапы решения инженерной задачи с применением ЭВМ 15
§ 1.3. Вычислительный эксперимент ..........................20
§ 1.4. Дополнительные замечания.............................22
Глава 2. Введение в элементарную теорию погрешностей............23
§2.1. Источники и классификация погрешностей результата численного
решения задачи.....................................23
§ 2.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности ... 24
§ 2.3. Погрешность арифметических операций над приближенными числами ......
§ 2.4. Погрешность функции................................ 33
§ 2.5. Особенности машинной арифметики...................... 35
§ 2.6. Дополнительные замечания.............................42
Глава 3. Вычислительные задачи, методы и алгоритмы. Основные понятия.......43
§3.1. Корректность вычислительной задачи..................... 43
§ 3.2. Обусловленность вычислительной задачи...................49
§ 3.3. Вычислительные методы...............................55
§ 3.4. Корректность вычислительных алгоритмов..................63
§ 3.5. Чувствительность вычислительных алгоритмов к ошибкам округления......67
§ 3.6. Различные подходы к анализ ошибок.....................72
§ 3.7. Требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам.....76
§ 3.8. Дополнительные замечания.............................79
Глава 4. Методы отыскания решений нелинейных уравнений.........80
§ 4.1. Постановка задачи. Основные этапы решения............... 80
§ 4.2. Обусловленность задачи вычисления корня.................87
§ 4.3. Метод бисекции.....................................91
§ 4.4. Метод простой итерации...............................93
§ 4.5. Обусловленность метода простой итерации..................102
§ 4.6. Метод Ньютона.....................................105
§ 4.7. Модификации метода Ньютона..........................112
§ 4.8. Дополнительные замечания.............................120
Глава 5. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.......122
§ 5.1. Постановка задачи...................................122
§ 5.2. Нормы вектора и матрицы.............................123
§ 5.3. Типы используемых матриц............................128
§ 5.4. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений.........131
§ 5.5. Метод Гаусса.......................................137
§ 5.6. Метод Гаусса и решение систем уравнений с несколькими правыми
частями, обращение матриц, вычисление определителей.......147
§ 5.7. Метод Гаусса и разложение матрицы на множители........................ 151
§ 5.8. Метод Холецкого (метод квадратных корней)................158
§ 5.9. Метод прогонки.....................................161
§ 5.10. QR-разложение матрицы. Методы вращений и отражений......165
S 5.11. Итерационное уточнение..............................171
§ 5.12. Дополнительные замечания............................173
Глава 6. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений........174
§ 6.1. Метод простой итерации...............................175
§ 6.2. Метод Зейделя......................................182
§ 6.3. Метод релаксации...................................187
§ 6.4. Дополнительные замечания............................ 189
Глава 7. Методы отыскания решений систем нелинейных уравнений ... 191
§ 7.1. Постановка задачи. Основные этапы решения...............191
§ 7.2. Метод простой итерации...............................196
§ 7.3. Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.....201
§ 7.4. Модификации метода Ньютона..........................204
§ 7.5. О некоторых подходах к решению задач локализации и отыскания
решений систем нелинейных уравнений...................207
§ 7.6. Дополнительные замечания............................210
Глава 8. Методы решения проблемы собственных значений..........211
§ 8.1. Постановка задачи. Некоторые вспомогательные сведения.......211
§ 8.2. Степенной метод.....................................221
§ 8.3. Метод обратных итераций..............................227
§ 8.4. QR-алгоритм.......................................231
§ 8.5. Дополнительные замечания............................235
Глава 9. Методы одномерной минимизации.....................236
§9.1. Задача одномерной минимизации........................236
§ 9.2. Обусловленность задачи минимизации....................242
§ 9.3. Методы прямого поиска. Оптимальный пассивный поиск. Метод деления отрезка пополам. Методы Фибоначчи и золотого сечения . .245
§ 9.4. Метод Ньютона и другие методы минимизации гладких функций . 257
§ 9.5. Дополнительные замечания............................251
Глава 10. Методы многомерной минимизации....................252
§ 10.1. Задача безусловной минимизации функции многих переменных . 252
§ 10.2. Понятие о методах спуска. Покоординатный спуск...........258
§ 10.3. Градиентный метод..................................272
§ 10.4. Метод Ньютона.....................................279
§ 10.5. Метод сопряженных градиентов.........................284
§ 10.6. Методы минимизации без вычисления производных..........287
§ 10.7. Дополнительные замечания............................290
Глава 11. Приближение функций и смежные вопросы..............292
§ 11.1. Постановка задачи приближения функций.................292
§ 11.2. Интерполяция обобщенными многочленами................205
§ 11.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа........390
§ 11.4. Погрешность интерполяции............................302
§ 11.5. Интерполяция с кратными узлами.......................304
§ 11.6. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева....306
§ 11.7. Конечные разности..................................311
§ 11.8. Разделенные разности................................318
§ 11.9. Интерполяционный многочлен Ньютона. Схема Эйткена.......320
§ 11.10. Обсуждение глобальней! полиномиальной интерполяции. Понятие о кусочно-полиномиалыюй интерполяции...............324
§ 11.11. Интерполяция сплайнами............................333
§ 11.12. Понятие о дискретном преобразовании Фурье и тригонометрической интерполяции.................................339
§ 11.13. Метод наименьших квадратов.........................343
§ 11.14. Равномерное приближение функций.....................356
§ 11.15. Дробно-рациональные аппроксимации и вычисление элементарных функций......................................361
§ 11.16. Дополнительные замечания...........................363
Глава 12. Численное дифференцирование.......................364
§ 12.1. Простейшие формулы численного дифференцирования........364
§ 12.2. О выводе формул численного дифференцирования...........369
§ 12.3. Обусловленность формул численного дифференцирования.....372
§ 12.4. Дополнительные замечания............................374
Глава 13. Численное интегрирование......................... 375
§ 13.1. Простейшие квадратурные формулы.....................375
§ 13.2. Квадратурные формулы интерполяционного типа............384
§ 13.3. Квадратурные формулы Гаусса.........................389
§ 13.4. Апостериорные оценки погрешности. Понятие об адаптивных
процедурах численного интегрирования...................392
§ 13.5. Вычисление интегралов в нерегулярных случаях............401
§ 13.6. Дополнительные замечания........................... 408
Глава 14. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений..............................410
§ 14.1. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.......................................... 411
§ 14.2. Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и
определения.......................................419
§ 14.3. Использование формулы Тейлора.......................428
§ 14.4. Метод Эйлера......................................430
§ 14.5. Модификации метода Эйлера второго порядка точности.......435
§ 14.6. Методы Рунге-Кутта.................................439
§ 14.7. Линейные многошаговые методы. Методы Адамса............448
§ 14.8. Устойчивость численных методов решения задачи Коши.......453
§ 14.9. Неявный метод Эйлера...............................461
§ 14.10. Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений m-го порядка 463
§ 14.11. Жесткие задачи...................................472
§ 14.12. Дополнительные замечания...........................481
Глава 15. Решение двухточечных краевых задач..................484
§ 15.1. Краевые задачи для одномерного стационарного уравнения теплопроводности .......................................48
§ 15.2. Метод конечных разностей: основные понятия..............48
§ 15.3. Метод конечных разностей: аппроксимации специального вида . . 50
§ 15.4. Понятие о проекционных и проекциоино-разностных методах. Методы Ритца и Галкина. Метод конечных разностей..........50
§ 15.5. Метод пристрелки...................................51
§ 15.6. Дополнительные замечания........................... 52
Литература...............................................52
Предметный указатель.......................................53
