Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М., 1987.—352 с.: ил.
Учебное пособие написано в соответствии с программой курса геометрии для математических и физико-математических факультетов педагогических институтов и состоит из двух частей. Первая часть вышла в свет в 1986 г. Она охватывает в основном материал, читаемый на первых трех семестрах. Вторая часть пособия содержит материал последующих семестров.
В курсе уделено большое внимание профессиональной направленности в подготовке будущего учителя. Изложение теории сопровождается примерами решения геометрических задач, в том числе задач Курса геометрии средней школы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............ 3
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО. МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Глава 1. Проективное пространство .... 5
§ 1. Центральное проектирование. Возникновение проективной геометрии .... —
§ 2. Понятие проективного пространства 9 § 3. Координаты точек на проективной плоскости и на проективной прямой ... 11
§ 4. Модели проективной плоскости и проективного пространства ........ 16
§ 5. Преобразование координат точек на плоскости и на прямой........ 18
§ 6. Уравнение прямой. Координаты прямой 22
§ 7. Принцип двойственности......24
§ 8. Теорема Дезарга........26
§ 9. Сложное отношение четырех точек прямой 28
§ 10. Сложное отношение четырех прямых
пучка ............32
§ 11. Проективные преобразования плоскости 34
§ 12. Предмет проективной геометрии. Аналитическое выражение проективных преобразований ...........39
Глава II. Основные факты проективной геометрии ...........42
§ 13. Полный четырехвершинник. Задачи на построение...........42
§ 14. Проективные отображения прямых и пучков............45
§ 15. Проективные преобразования прямой. Инволюции ..........49
§ 16. Мнимые точки проективной плоскости. Линии второго порядка......51
§ 17. Проективная классификация линий второго порядка..........55
§ 18. Полюс и поляра ........57
§ 19. Овальная линия второго порядка ... 61
§ 20. Задачи на построение, связанные с овальной линией...........65
§ 21. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой......69
§ 22. Линии второго порядка на проективной
плоскости с фиксированной прямой 73
§ 23. Евклидова геометрия с проективной точки зрения............77
§ 24. Перпендикулярность прямых, равенство отрезков и углов с проективной точки зрения .............80
§ 25. Приложение проективной геометрии к решению задач школьного курса геометрии 85
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ.МНОГОГРАННИКИ.ЛИНИИ и ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
Глава III. Методы изображений.....92
§ 26. Параллельное проектирование. Аффинные отображения........92
§ 27. Изображение плоских фигур в параллельной проекции..........96
§ 28. Изображение многогранников в параллельной проекции........101
§ 29. Изображения цилиндра, конуса и шара 106
§ 30. Аксонометрия .........111
§ 31. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи .........119
§ 32. Построение сечений простейших многогранников ..........121
§ 33. Метрические задачи.......125
§ 34. Понятие о методе Монжа.....131
Глава IV. Элементы топологии.....139
§ 35. Метрические пространства.....—
§ 36. Топологические пространства . . . . 142
§ 37. Непрерывность и гомеоморфизм . . . 146
§ 38. Отделимость. Компактность. Связность 148
§ 39. Многообразия .........150
§ 40. Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика многообразия 153
§ 41. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия ..............154
§ 42. Понятие о классификации компактных
двумерных многообразий......156
§ 43. Топологические свойства листа Мебиуса
и проективной плоскости......158
Глава V. Многогранники в евклидовом пространстве ..........161
§ 44. Геометрическое тело.......—
§ 45. Выпуклые многогранники.....163
§ 46. Правильные многогранники.....167
§ 47. Группы симметрий правильных многогранников ...........173
Глава VI. Линии в евклидовом пространстве 178
§ 48. Векторная функция скалярного аргумента ............—
§ 49. Понятие линии.........181
§ 50. Гладкие линии.........184
§ 51. Касательная. Длина дуги.....187
§ 52. Кривизна и кручение линии . . . . . 190
§ 53. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации. Винтовая линия 195
Глава VII. Поверхности в евклидовом пространстве ........199
§ 54. Понятие поверхности.......—
§ 55. Гладкие поверхности.......203
§ 56. Касательная плоскость и нормаль . . . 207
§ 57. Первая квадратичная форма поверхности ............211
§ 58. Кривизна кривой на поверхности. Вторая
квадратичная форма.......214
§ 59. Главные кривизны. Полная и средняя
кривизны поверхности ..............218
§ 60. Примеры поверхностей постоянной кривизны ............221
Глава VIII. Внутренняя геометрия поверхности 225
§ 61. Внутренняя геометрия поверхности. Деривационные формулы......—
§ 62. Теорема Гаусса. Геодезическая кривизна
линии на поверхности.......227
§ 63. Изометричные поверхности. Изгибание
поверхности..........230
§ 64. Геодезические линии.......234
§ 65. Дефект геодезического треугольника 238
§ 66. Теорема об эйлеровой характеристике для гладкой поверхности, гомеоморфной сфере с р ручками.........240
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Глава IX. Исторический обзор обоснования геометрии. Элементы геометрии Лобачевского........242
§ 67. Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида —
§ 68. Критика системы Евклида.....245
§ 69. Пятый постулат Евклида......247
§ 70. Н. И. Лобачевский и его геометрия . . 250
§ 71. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I—II.....253
§ 72. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I—V.....256
§ 73. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому......259
§ 74. Треугольники и четырехугольники на
плоскости Лобачевского......264
§ 75. Взаимное расположение двух прямых на
плоскости Лобачевского ............266
§ 76. Окружность, эквидистанта и орицикл 270
Глава X. Общие вопросы аксиоматики. Обоснование евклидовой геометрии 275
§ 77. Понятие о математической структуре . . —
§ 78. Интерпретации системы аксиом. Изоморфизм структур.........278
§ 79. Непротиворечивость, независимость и полнота Системы аксиом......280
§ 80. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского . . 284
§ 81. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства......288
§ 82. Луч, угол, отрезок........292
§ 83. Равенство отрезков и углов. Длина отрезка ............295
§ 84. Аксиоматика А. В. Погорелова школьного курса геометрии.......300
§ 85. Об аксиомах школьного курса геометрии 303
Глава XI. Длина, площадь и объем .... 306
§ 86. Длина отрезка. Теорема существования —
§ 87. Измерение отрезков. Теорема единственности ...........310
§ 88. Площадь многоугольника в евклидовой
геометрии. Теорема существования 312
§ 89. Теорема единственности. Равновеликие
и равносоставленные многоугольники 316
§ 90. Объем многогранника в евклидовом пространстве (обзор)........319
Глава XII. Неевклидовы геометрии . . . . 321
§ 91. Гиперболическое пространство ... —
§ 92. Модель Кэли — Клейна плоскости Лобачевского ...........325
§ 93. О свойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского ............330
§ 94. Понятие о сферической геометрии . . . 333
§ 95. Понятие об эллиптической геометрии Римана ............336
Литература ............348
