Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел: Пер. с англ. — М., 1987. - 416 с.
Учебное пособие по теории чисел, написанное известными математиками из Канады и США. От читателя не требуется предварительных знаний. Авторы начинают с простейших понятий и примеров и доводят изложение до современных проблем и результатов теории чисел. В книге приведено много задач различной трудности вместе с указаниями для их решения.
Для математиков разной квалификации в качестве введения в предмет, для преподавателей и студентов вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .....................................5
Предисловие...........................................................6
Глава 1. Однозначное разложение на множители..............9
§ 1. Однозначное разложение на множители в Z..................9
§2. Однозначное разложение на множители в к[х]...............14
§3. Однозначное разложение на множители в областях
главных идеалов..............................................17
§4. Кольца Z[i] и Z[ω]............................................22
Замечания........................................................23
Упражнения......................................................24
Глава 2. Применения однозначного разложения на множители.........28
§ 1. В Z бесконечно много простых чисел........................28
§ 2. Некоторые арифметические функции........................29
§ 3. Ряд 1/р расходится........................................33
§4. Рост функции π(х)...........................................34
Замечания........................................................38
Упражнения......................................................39
Глава 3. Сравнения................................................43
§ 1. Элементарные наблюдения...................................43
§ 2. Сравнения в Z................................................44
§ 3. Сравнение ах = b (mod m)....................................46
§ 4. Китайская теорема об остатках..............................49
Замечания........................................................52
Упражнения......................................................53
Глава 4. Структура группы E/(Z/nZ)............................55
§ 1. Примитивные корни и структура группы U(Z/nZ)..........55
§ 2. n-степенные вычеты..........................................62
Замечания........................................................64
Упражнения......................................................66
Глава 5. Квадратичный закон взаимности......................68
§ 1. Квадратичные вычеты.......................................68
§2. Квадратичный закон взаимности.............................73
§3. Доказательство квадратичного закона взаимности..........79
Замечания........................................................83
Упражнения......................................................85
Глава 6. Квадратичные суммы Гаусса...........................89
§ 1. Алгебраические числа и целые алгебраические числа.......89
§ 2. Квадратичный характер числа 2.............................93
§ 3. Квадратичные суммы Гаусса.................................94
§ 4. Знак квадратичной суммы Гаусса............................97
Замечания.......................................................100
Упражнения.....................................................101
Глава 7. Конечные поля..........................................104
§ 1. Основные свойства конечных полей.........................104
§2. Существование конечных полей.............................108
§3. Приложение к квадратичным вычетам.....................110
Замечания.......................................................111
Упражнения.....................................................111
Глава 8. Суммы Гаусса и Якоби................................114
§ 1. Мультипликативные характеры.............................114
§ 2. Суммы Гаусса...............................................117
§3. Суммы Якоби...............................................119
§ 4. Уравнение хn + уn = 1 в Fp..................................125
§5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби...................126
§6. Применения.................................................129
§ 7. Общая теорема..............................................130
Замечания.......................................................132
Упражнения.....................................................134
Глава 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности.........138
§1. Кольцо Z[ω].................................................139
§2. Кольца классов вычетов....................................141
§3. Характер кубического вычета...............................142
§ 4. Доказательство кубического закона взаимности............146
§ 5. Другое доказательство кубического закона взаимности .... 148
§6. Характер кубического вычета числа 2......................150
§ 7. Биквадратичный закон взаимности: предварительные сведения.....151
§8. Символ вычета степени 4....................................153
§9. Биквадратичный закон взаимности.........................155
§ 10. Рациональный биквадратичный закон взаимности........160
§11. Построение правильных многоугольников.................163
§ 12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера...........164
Замечания.......................................................166
Упражнения.....................................................168
Глава 10. Уравнения над конечными полями.................172
§1. Аффинное пространство, проективное пространство и многочлены.......172
§2. Теорема Шевалле...........................................178
§3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями.............181
Замечания.......................................................184
Упражнения.....................................................185
Глава 11. Дзета-функция........................................188
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности.............188
§ 2. След и норма в конечных полях............................196
§3. Гациональность дзета-функции гиперповерхности.............199
§ 4. Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта...........202
§5. Последняя запись...........................................204
Замечания.......................................................207
Упражнения.....................................................208
Глава 12. Теория алгебраических чисел.......................212
§ 1. Алгебраические подготовительные результаты.............212
§2. Однозначность разложения на множители в полях алгебраических чисел..215
§ 3. Ветвление и степень.........................................222
Замечания.......................................................226
Упражнения.....................................................228
Глава 13. Квадратичные и круговые поля....................232
§1. Квадратичные числовые поля...............................232
§2. Круговые поля..............................................238
§ 3. Снова квадратичный закон взаимности.....................246
Замечания.......................................................247
Упражнения.....................................................248
Глава 14. Соотношение Штикельбергера и закон взаимности Эйзенштейна........251
§ 1. Норма идеала...............................................251
§ 2. Символ степенного вычета..................................252
§3. Соотношение Штикельбергера..............................256
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера.............258
§5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна...........265
§6. Три приложения............................................271
Замечания.......................................................276
Упражнения.....................................................277
Глава 15. Числа Бернулли.......................................281
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения...............281
§ 2. Сравнения для чисел Бернулли.............................288
§ 3. Теорема Хербранда..........................................297
Замечания.......................................................302
Упражнения.....................................................304
Глава 16. L-функции Дирихле..................................307
§ 1. Дзета-функция..............................................307
§ 2. Частный случай.............................................310
§ 3. Характеры Дирихле.........................................312
§4. L-функции Дирихле.........................................315
§ 5. Ключевой шаг...............................................318
§6. Значения L(s,x) в отрицательных целых числах...........323
Замечания.......................................................329
Упражнения.....................................................330
Глава 17. Диофантовы уравнения..............................333
§ 1. Общие сведения и первые примеры.........................333
§ 2. Метод спуска................................................336
§ 3. Теорема Лежандра..........................................337
§ 4. Теорема Софи Жермен.....................................340
§5. Уравнение Пелля............................................342
§ 6. Сумма двух квадратов......................................344
§ 7. Сумма четырех квадратов..................................347
§8. Уравнение Ферма: экспонента 3.............................351
§9. Кубические кривые с бесконечным числом рациональных точек..........353
§ 10. Уравнение у2 = х3 + к......................................355
§11. Первый случай гипотезы Ферма для регулярных показателей..........357
§ 12. Диофантовы уравнения и диофантово приближение......360
Замечания.......................................................362
Упражнения.....................................................363
Глава 18. Эллиптические кривые...............................366
§ 1. Общие замечания...........................................366
§2. Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической кривой.......371
§ 3. у2 = х3 + D, локальный случай.............................375
§ 4. у2 = х3 - Dx, локальный случай............................377
§ 5. L-функции Гекке............................................378
§ 6. у2 = х3 - Dx, глобальный случай...........................381
§ 7. у2 = х3 + D, глобальный случай............................384
§8. Заключительные замечания.................................387
Замечания.......................................................390
Упражнения.....................................................391
Указания к отдельным упражнениям...............................394
Литература..........................................................404
Предметный указатель..............................................419
