В.Г.Болтянский, Н.Я. Виленкин. Симметрия в алгебре. М., 2002. 240 с.
Решение многих задач элементарной алгебры значительно облегчается, если использовать симметричность условия задачи. В этой книге рассказывается, как использовать симметрию при решении систем уравнений, иррациональных уравнений, неравенств и т.д. Все эти задачи решаются единообразным методом, основанным на теории симметрических многочленов.
Книга будет полезна школьникам, готовящимся к конкурсным экзаменам, студентам пединститутов и учителям математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ......................... 5
§ 1. Симметрические многочлены от x и y.......... 8
1. Примеры симметрических многочленов (8). 2. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных (9). 3. Выражение степенных сумм через и 02 (11). 4. Доказательство основной теоремы (12). 5. Теорема единственности (13). 6. Формула Варинга (15).
§ 2. Применения к элементарной алгебре. I.........17
7. Решение систем уравнений (17). Упражнения (22). 8. Введение вспомогательных неизвестных (23). Упражнения (25).
9. Задачи о квадратных уравнениях (26). Упражнения (27).
10. Неравенства (28). Упражнения (31). 11. Возвратные уравнения (31). Упражнения (37). 12. Разложение симметрических многочленов на множители (37). Упражнения (41). 13. Разные задачи (41). Упражнения (42).
§ 3. Симметрические многочлены от трёх переменных .... 43
14. Определение и примеры (43). 15. Основная теорема о симметрических многочленах от трёх переменных (44). 16. Выражение степенных сумм через ov s2, о3 (46). 17. Орбиты одночленов (47). 18. Доказательство основной теоремы (52). Упражнения (52). 19. Формула Варинга (53).
20. Обратные степенные суммы (54).
§ 4. Применения к элементарной алгебре. II ........55
21. Решение систем уравнений с тремя неизвестными (55). Упражнения (62). 22. Разложение на множители (62). Упражнения (64). 23. Доказательство тождеств (65). Упражнения (69). 24. Неравенства (71). Упражнения (72). 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе (73). Упражнения (79).
§ 5. Антисимметрические многочлены от трёх переменных . . 80
26. Определение и примеры (80). 27. Основная теорема об антисимметрических многочленах (81). Упражнения (83). 28. Дискриминант и его применение к исследованию корней уравнения (83). Упражнение (88). 29. Применение дискриминанта к доказательству неравенств (88). Упражнение (90). 30. Чётные и нечётные перестановки (90). 31. Чётно-симметрические многочлены (92).
§ 6. Применения к элементарной алгебре. III ........94
32. Разложение на множители (94). Упражнения (96).
33. Доказательство тождеств и упрощение алгебраических выражений (97). Упражнения (98). 34. Разложение симметрических многочленов от трёх переменных на множители (99). Упражнения (103).
§ 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных 103
35. Элементарные симметрические многочлены от нескольких переменных (103). 36. Основная теорема о симметрических многочленах от нескольких переменных (106). 37. Выражения степенных сумм через элементарные симметрические многочлены (108). Упражнения (110). 38. Элементарные симметрические многочлены от n переменных и алгебраические уравнения n-й степени. Формулы Ви-ета (111). Упражнения (113). 39. Метод неопределённых коэффициентов (113). Упражнения (117). 40. Словарное расположение многочленов; старшие члены (117). 41. Отбор слагаемых многочлена s2, . . ., оп) с помощью старших членов (119). 42. Антисимметрические многочлены от n переменных (122). Упражнения (125). 43. Общий метод освобождения от иррациональности в знаменателе (126).
44. Извлечение корней с помощью симметрических многочленов (132).
Дополнение
Некоторые сведения об алгебраических уравнениях высших
степеней .......................136
45. Теорема Безу (136). Упражнения (137). 46. Нахождение целых корней многочленов с целыми коэффициентами (137). Упражнения (140). 47. Нахождение целых комплексных корней (140). Упражнения (141). 48. Основная теорема алгебры и разложение многочленов на множители первой степени (142).
Решения .........................145
