Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы.— 1985.— 504 с., 3-е изд.доп.
Излагается ряд методов современной теории чисел. Изложение иллюстрируется рассмотрением большого - числа конкретных теоретико-числовых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное место занимают также геометрический и аналитический методы. В третьем издании (второе вышло в 1972 г.) нашли отражение некоторые наиболее существенные новые результаты последнего десятилетия, примыкающие к излагаемым в книге вопросам.
Для студентов, аспирантов и научных работников, работающих в области алгебры и теории чисел.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Сравнения 9
§ 1. Сравнения по простому модулю 11
1. Суммы степеней вычетов (11). 2. Теоремы о числе решений сравнений (12). 3. Квадратичные формы по простому модулю (14).
§ 2. Тригонометрические суммы 16
1. Сравнения и тригонометрические суммы (16). 2. Суммы степеней (19). 3. Модуль гауссовой суммы (22).
§ 3. р-адические числа 25
1. Целые р-адические числа (25). 2. Кольцо целых р-адических чисел (28). 3. Дробные р-адические числа (31). 4. Сходимость в полер-адических чисел (32).
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел 40
1. Метризованные поля (40). 2. Метрики поля рациональных чисел (45).
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа 48
1. Сравнения и уравнения в кольце Zp (48). 2. О разрешимости некоторых сравнений (50).
§ 6. Квадратичные формы с р-адическими коэффициентами 58
1. Квадраты в поле р-адических чисел (58). 2. Представление нуляр-адическими квадратичными формами (59). 3. Бинарные формы (62). 4. Эквивалентность бинарных форм (66). 5. Замечания о формах высших степеней (68). § 7. Рациональные квадратичные формы 75
1. Теорема Минковского — Хассе (75). 2. Формы от трех переменных (77). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Формы от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквивалентность (86). 6. Замечания о формах высших степеней (87).
Глава II. Представление чисел разложимыми формами 91
§ 1. Разложимые формы 92
1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение разложимых форм (94). 3. Модули (97).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей 99
1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей (103). 3. Единицы (105). 4. Максимальный порядок (108). 5. Дискриминант полного модуля (110).
§ 3. Геометрический метод 112
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел (112). 2. Решетки (117). 3. Логарифмическое пространство (121). 4. Геометрическое изображение единиц (123). 5. Первые сведения о группе единиц (124).
§ 4. Группа единиц 126
1. Критерий полноты решетки (126). 2. Лемма Минковского (127). 3. Структура группы единиц (131). 4. Регулятор (133).
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел полными 136
разложимыми формами
1. Единицы с нормой +1 (136). 2. Общий вид решений уравнения N(μ)=a (137). 3. Эффективное построение системы основных единиц (138). 4. Числа модуля с данной нормой (142).
§ 6. Классы модулей 143
1. Норма модуля (143). 2. Конечность числа классов (146).
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами 149
1. Квадратичные поля (149). 2. Порядки в квадратичном поле (150). 3. Единицы (152). 4. Модули (155). 5. Соответствие между модулями и формами (158). 6. Представление чисел бинарными формами и подобие модулей (161). 7. Подобие модулей в мнимом квадратичном поле (164).
Глава III. Теория делимости 175
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма 175
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители (175). 2. Кольцо Z[ζ](177). 3. Теорема Ферма в случае однозначности разложения на множители (180).
§ 2. Разложение на множители 184
1. Простые множители (184). 2. Однозначность разложения (185). 3. Примеры неоднозначного разложения (187).
§ 3. Дивизоры 190
1. Аксиоматическое описание дивизоров (190). 2. Единственность (192). 3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров (195). 4. Связь теории дивизоров с показателями (195).
§ 4. Показатели 202
1. Простейшие свойства показателей (202). 2. Независимость показателей (203). 3. Продолжение показателей (206). 4. Существование продолжений (211).
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения 214
1. Существование (214). 2. Норма дивизоров (216). 3. Степень инерции (220). 4. Конечность числа разветвленных простых дивизоров (226).
§ 6. Дедекиндовы кольца 231
1. Сравнения по модулю дивизора (231). 2. Сравнения в дедекиндовых кольцах (232). 3. Дивизоры и идеалы (234). 4. Дробные дивизоры (236).
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел 241
1. Абсолютная норма дивизора (241). 2. Классы дивизоров (244). 3. Приложение к теореме Ферма (250). 4. Вопросы эффективности (253).
§ 8. Квадратичное поле 262
1. Простые дивизоры (262). 2. Закон разложения (264). 3. Представление чисел бинарными квадратичными формами (267). 4. Роды дивизоров (273). Добавление при корректуре 279
Глава IV. Локальный метод 280
§ 1. Поля, полные относительно показателей 280
1. Пополнение поля по показателю (280). 2. Представление элементов в виде рядов (282) 3. Конечные расширения полного поля с показателем (285). 4. Целые элементы (287). 5. Поля формальных степенных рядов (290).
§ 2. Конечные расширения поля с показателем 295
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с показателем 301 § 4. Метрики поля алгебраических чисел 306
1. Описание метрик (306). 2. Соотношение между метриками (310). § 5. Аналитические функции в полных полях 312
1. Степенные ряды (312). 2. Показательная и логарифмическая функция (314).
§ 6. Метод Сколема 319
1. Представление чисел неполными разложимыми формами (319). 2. Связь с локальными аналитическими многообразиями (321). 3. Теорема Туэ (324). 4. Замечания о формах с большим числом переменных (329).
§ 7. Локальные аналитические многообразия 331
Глава V. Аналитический метод 339
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров 339
1. Дзета-функция Дедекинда (339). 2. Фундаментальная область (343). 3. Вычисление объема (345). 4. Принцип Дирихле (350). 5. Тождество Эйлера (353). § 2. Число классов дивизоров кругового поля 355
1. Неприводимость кругового многочлена (355). 2. Закон разложения в круговом поле (358). 3. Выражение h через значения L-рядов (359). 4. Суммирование рядов Д1,х) (364). 5. Ряды Д1,х) для примитивных
характеров (366).
§ 3. Простые дивизоры первой степени 370
1. Существование простых дивизоров первой степени (370). 2. Характеризация нормальных расширений законами разложения простых дивизоров первой степени (371). 3. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии (374).
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля 379
1. Формула для числа классов дивизоров (379). 2. Характер квадратичного поля (384). 3. Гауссовы суммы для квадратичных характеров (385).
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга на простое число частей 392 1. Разложение числа h на два множителя (392). 2. Множитель h0 (395). 3. Множитель h* (400). 4. Условие взаимной простоты И* с I (402). 5. Замечание об операторной структуре группы классов дивизоров (404).
§ 6. Условие регулярности 407
1. Поле £-адических чисел (407). 2. Некоторые вспомогательные сравнения (411). 3. Базис вещественных целых £-адических чисел в случае (k* l) = 1 (413). 4. Критерий регулярности и лемма Куммера (417).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей 419
1. Теорема Ферма (419). 2. Бесконечность числа иррегулярных простых чисел (425).
§ 8. Числа Бернулли 426
Алгебраическое дополнение 438
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристики 438 1. Эквивалентность квадратичных форм (438). 2. Прямая сумма квадратичных форм (439). 3. Представление элементов поля (441). 4. Бинарные квадратичные формы (443).
§ 2. Алгебраические расширения 444
1. Конечные расширения (444). 2. Норма и след (447). 3. Сепарабельные расширения (450) 4. Нормальные расширения (452)
§ 3. Конечные поля 454
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах 458
1. Делимость в кольцах (458). 2. Идеалы (460). 3. Целые элементы (461). 4. Дробные идеалы (463).
§ 5. Характеры 465
1. Строение конечных абелевых групп (465). 2. Характеры конечных абелевых групп (465). 3. Числовые характеры (468). Таблицы 472
Список литературы 492
Перечень стандартных обозначений 499
Предметный указатель 500
Часть 1
Часть 2
