Божокин СВ., Паршин В.А. Фракталы и мультифракталы. - Ижевск, 2001. - 128 с.
Учебное пособие посвящено изложению основных идей фрактальной и мультифрактальной геометрии. Примеры различных фрактальных структур можно встретить во многих явлениях природы. Фрактальные образы с успехом используются при описании хаотического поведения нелинейных динамических и диссипатинных систем, турбулентного течения жидкости, неоднородного распределения материи во Вселенной, при исследовании трещин и дислокационных скоплений в твердых телах, при изучении электрического пробоя, диффузии и агрегации частиц, роста кристаллов и т.д. Много интересных идей фрактальной геометрии нашли свое применение в экономике при анализе колебаний курса валют, в биологии для объяснения морфологического строения различных биологических объектов, в физике твердого тела для описания перехода Андерсона металл-диэлектрик и других свойств неупорядоченных систем.
Пособие написано по материалам курсов лекций, прочитанных авторами в разное время на физико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного технического университета для студентов 4-5 курсов, обучающихся на специальностях "Биофизика", "Физика металлов" и "Спектроскопия твердого тела".
Пособие будет полезно аспирантам и студентам физических специальностей, интересующихся современными проблемами физики.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 5
1 ФРАКТАЛЫ 12
1.1 Регулярные фракталы........................................12
1.1.1 Понятие фрактала....................................12
1.1.2 Длина береговой линии..............................13
1.1.3 Фрактальная размерность множества............15
1.1.4 Канторовское множество............................17
1.1.5 Снежинка Коха ......................................18
1.1.6 Салфетка и ковер Сернинского....................20
1.1.7 Губка Менгера........................................24
1.1.8 Кривые Пеано........................................25
1.1.9 Вселенная Фурнье....................................30
1.2 Итерации линейных систем ................................32
1.2.1 Системы итерируемых функций ..................32
1.2.2 Метод случайных итераций, или игра в хаос . . 37
1.2.3 Игры с поворотами..................................42
1.2.4 Сжимающие аффинные преобразования..........49
1.2.5 Лист папоротника....................................54
1.3 Нелинейные комплексные отображения ..................63
1.3.1 Квадратичные отображения........................63
1.3.2 Неподвижные точки. Циклы........................64
1.3.3 Множество Жюлиа..................................66
1.3.4 Множество Мандельброта и классификация множеств Жюлиа........................................70
1.3.5 Построение множества Мандельброта ............76
1.3.6 Комплексные Ньютоновы границы................78
2 МУЛЬТИФРАКТАЛЫ 83
2.1 Геометрическое описание мультифракталов..............83
2.1.1 Что такое мультифрактал?..........................83
2.1.2 Обобщенные фрактальные размерности Dq . . . 86
2.1.3 Фрактальная размерность Dq и информационная размерность Di......................................89
2.1.4 Корреляционная размерность D2..................92
2.1.5 Свойства функции Dq................................95
2.1.6 Неоднородное канторовское множество..........95
2.1.7 Неоднородный треугольник Сернинского .... 99
2.1.8 Канторовское множество с двумя характерными масштабами длины.................101
2.2 Функция мультифрактального спектра f(a).......105
2.2.1 Спектр фрактальных размерностей........105
2.2.2 Преобразование Лежандра.............109
2.2.3 Свойства функции f(a)...............Ill
2.2.4 Примеры функций f(a) ..............114
2.3 Применение теории мультифракталов в физике.....121
2.3.1 Переход Андерсона.................121
Литература 131
