Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. - М., 1970.- 351 с.
Имя Пауля Халмоша весьма популярно в математическом мире и хорошо известно советскому читателю, высоко оценившему его книги «Теория меры», «Лекции по эргодической теории» и «Конечномерные векторные пространства». Его новая книга представляет собой оригинальный учебник по теории гильбертовых пространств и их применений, рассчитанный на активного читателя.
Книга, несомненно, полезна широкому кругу читателей, особенно студентам и преподавателям функционального анализа, а также всем тем, кто желает освежить и пополнить свои знания в одном из важнейших разделов современной математики — теории гильбертовых пространств. Заинтересуются ею и физики-теоретики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода................. 5
Предисловие........................... 6
Задачи
Глава 1. Векторы и пространства............... 11
1. Пределы квадратичных форм.............. 11
2. Представление линейных функционалов......... 12
3. Строгая выпуклость .................. 12
4. Непрерывные кривые ................. 13
5. Линейная размерность................. 13
6. Бесконечные определители Вандермонда......... 14
7. Близкие базисы.................... 14
8. Векторные суммы................... 15
9. Решетка подпространств................ 15
10. Локальная компактность и размерность......... 16
11. Сепарабельность и размерность............. 16
12. Мера в гильбертовом пространстве ........... 16
Глава 2. Слабая топология.................. 18
13. Слабая замкнутость подпространств........... 18
14. Слабая непрерывность нормы и скалярного произведения . . 19
15. Слабая сепарабельность................ 19
16. Равномерная слабая сходимость............. 20
17. Слабая компактность единичного шара ......... 20
18. Слабая метризуемость единичного шара......... 20
19. Слабая метризуемость и сепарабельность........ 20
20. Равномерная ограниченность.............. 20
21. Слабая метризуемость гильбертова пространства .... 21
22. Линейные функционалы в I2 .............. 21
23. Слабая полнота.................... 22
Глава 3. Аналитические функции............... 23
24. Аналитические гильбертовы пространства........ 23
25. Базис в Н2...................... 23
26. Вещественные функции в Н2.............. 23
27. Произведения в Н2 .................. 25
28. Аналитическая характеристика пространства Н2..... 25
29. Функциональные гильбертовы пространства....... 26
30. Производящие ядра.................. 27
31. Непрерывность продолжения.............. 27
32. Радиальные пределы.................. 28
33. Ограниченность продолжения.............. 28
34. Мультипликативность продолжения........... 28
35. Задача Дирихле.................... 28
Глава 4. Бесконечные матрицы................ 29
36. Матрицы с конечными столбцами............ 29
37. Критерий Шура.................... 30
38. Гильбертова матрица.................. 31
Глава 5. Ограниченность и обратимость............ 32
39. Ограниченность на базисах............... 32
40. Равномерная ограниченность линейных преобразований ......32
41. Обратимые преобразования............... 33
42. Сохранение размерности................ 35
43. Проекторы одинакового ранга............. 35
44. Теорема о замкнутом графике ............. 36
45. Неограниченные симметрические преобразования..... 36
Глава 6. Операторы умножения................ 37
46. Диагональные операторы................ 37
47. Умножения в I2.................... 37
48. Спектр диагонального оператора............ 38
49. Норма умножения................... 39
50. Ограниченность множителя............... 39
51. Ограниченность умножения............... 39
52. Спектр умножения................... 40
53. Умножения в функциональных гильбертовых пространствах 40
54. Мультипликаторы функциональных гильбертовых пространств ......... 41
Глава 7. Операторные матрицы................ 42
55. Коммутативный операторный детерминант........ 42
56. Операторный детерминант............... 43
57. Операторный детерминант с конечным углом....... 44
Глава 8. Свойства спектров.................. 45
58. Спектры и сопряжение................. 45
59. Теорема об отображении спектра............ 46
60. Подобие и спектр................... 47
61. Спектр произведения.................. 47
62. Замкнутость предельного спектра............ 47
63. Граница спектра.................... 47
Глава 9. Примеры спектров.................. 48
64. Остаточный спектр нормального оператора......... 48
65. Части спектра диагонального оператора .......... 48
66. Части спектра оператора умножения............ 48
67. Односторонний сдвиг................... 48
68. Двусторонний сдвиг.................... 49
69. Спектр умножения в функциональном пространстве ... 50
70. Относительный спектр оператора сдвига......... 50
71. Замкнутость относительного спектра .......... 51
Глава 10. Спектральный радиус................ 52
72. Аналитичность резольвенты............... 52
73. Непустота спектра...................52
74. Спектральный радиус................. 53
75. Взвешенные сдвиги................... 53
76. Подобие операторов взвешенного сдвига........ 54
77. Норма и спектральный радиус взвешенного сдвига .... 56
78. Собственные значения операторов взвешенного сдвига . . 56
79. Взвешенные пространства последовательностей..... 56
80. Одноточечный спектр.................. 57
81. Спектр прямой суммы................. 58
82. Неравенство Рида................... 59
Глава 11. Равномерная топология...... 60
83. Метрическое пространство операторов.......... 60
84. Непрерывность обращения............... 60
85. Непрерывность спектра................. 61
86. Полунепрерывность спектра .............. 61
87. Непрерывность спектрального радиуса......... 62
Глава 12. Сильная и слабая топологии............ 63
88. Топологии в пространстве операторов......... 63
89. Непрерывность нормы................. 64
90. Непрерывность сопряжения............... 64
91. Непрерывность умножения............... 64
92. «Раздельная» непрерывность умножения........ 64
93. Секвенциальная непрерывность умножения ...... 65
94. Неубывающие последовательности эрмитовых операторов 65
95. Квадратные корни................... 65
96. Точная нпжняя грань двух проекторов......... 66
Глава 13. Частичные изометрии............... 67
97. Теорема об отображении спектра для нормальных операторов ............. 67
98. Частичные изометрии................. 69
99. Максимальные частичные изометрии.......... 70
100. Замкнутость и связность множества частичных изометрпп 72
101. Ранг, коранг и дефект................. 72
102. Компоненты пространства частичных изометрий .... 73
103. Унитарная эквивалентность частичных изометрий .... 73
104. Спектр частичной изометрии.............. 74
105. Полярное разложение............... . 75
106. Максимальное полярное разложение.......... 76
107. Крайние точки.................... 76
108. Квазинормальные операторы.............. 76
109. Плотность множества обратимых операторов...... 76
110. Связность множества обратимых операторов...... 77
Глава 14. Односторонний сдвиг................ 78
111. Приводящие подпространства нормальных операторов . . 78
112. Произведения симметрий............... 78
113. Односторонний сдвиг и нормальные операторы..... 78
114. Квадратный корень из сдвига..... 79
115. Коммутант двустороннего сдвига............ 79
116. Коммутант одностороннего сдвига........... 79
117. Коммутант одностороннего сдвига как предел..... 80
118. Характеризация изометрий.............. 81
119. Расстояние от одностороннего сдвига до множества всех унитарных операторов................ 81
120. Приведение унитарной частью............. 81
121. Сдвиги как универсальные операторы......... 81
122. Операторы, подобные частям сдвигов.......... 82
123. Блуждающие подпространства ............ 83
124. Специальные инвариантные подпространства оператора сдвига............. 84
125. Инвариантные подпространства сдвига......... 85
126. Циклические векторы................. 86
127. Теорема Ф. и М. Риссов................ 88
128. Обобщенная теорема Ф. и М. Риссов.......... 89
129. Приводимые взвешенные сдвиги............ 89
Глава 15. Вполне непрерывные операторы........... 90
130. Смешанная непрерывность . ............. 90
131. Вполне непрерывные операторы............ 90
132. Диагональные вполне непрерывные операторы..... 92
133. Нормальные вполне непрерывные операторы...... 92
134. Ядро тождественного оператора............ 93
135. Операторы Гильберта — Шмидта............ 93
136. Операторы Гильберта — Шмидта в сравнении с вполне непрерывными .................... 95
137. Пределы операторов конечного ранга ......... 95
138. Идеалы в кольце операторов ............. 95
139. Квадратный корень из вполне непрерывного оператора 95
140. Альтернатива Фредгольма............... 96
141. Область значений вполне непрерывного оператора ... 96
142. Теорема Аткинсона.................. 96
143. Теорема Вейля.................... 97
144. Возмущенный спектр................. 97
145. Сдлиг по модулю вполне непрерывных операторов ... 97
146. Ограниченные ядра Вольтерры............. 98
147. Неограниченные ядра Вольтерры............ 99
148. Вольтерровский оператор интегрирования....... 99
149. Кососимметрический оператор Вольтерры........ 100
150. Норма 1, спектр {1}.................. 100
151. Гешетка Доногю................... 101
Глава 16. Субнормальные операторы.............. 104
152. Теорема Путнама — Фуглида............. 104
153. Спектральная мера на единичном круге........ 105
154. Субнормальные операторы............... 106
155. Минимальные нормальные расширения......... 107
156. Подобие субнормальных операторов.......... 107
157. Теорема о включении спектра............. 108
158. Заполнение «дыр»................... 108
159. Гасширения конечной коразмерности.......... 108
160. Гипонормальные операторы.............. 109
161. Нормальные и субнормальные частичные изометрии . . 111
162. Нормы степеней и степени нормы........... 111
163. Вполне непрерывные гипонормальные операторы .... 112
164. Степени гипонормального оператора.......... 112
165. Сжатия, подобные унитарным операторам........ 112
Глава 17. Числовой образ.................. ИЗ
166. Теорема Теплица — Хаусдорфа............ ИЗ
167. Многомерный числовой образ............. 115
168. Замкнутость числового образа............. 116
169. Спектр и числовой образ............... 116
170. Квазинильпотентность и числовой образ........ 116
171. Нормальность и числовой образ............ 116
172. Субнормальность и числовой образ........... 117
173. Числовой радиус................... 118
174. Нормалоидные, выпуклоидные и спектралоидные операторы ............ 118
175. Непрерывность числового образа........... 119
176. Степенное неравенство................. 119
Глава 18. Унитарные продолжения.............. 122
177. Унитарные продолжения............... 122
178. Унитарные степенные продолжения.......... 123
179. Эргодическая теорема................ 125
180. Спектральные множества............... 126
181. Продолжения положительно определенных последовательностей ............ 127
Глава 19. Коммутаторы операторов..... 130
182. Коммутаторы..................... 130
183. Предел коммутаторов................. 131
184. Теорема Клейнеке — Широкова............ 132
185. Гасстояние между коммутатором и тождественным оператором ............. 132
186. Операторы с обширными ядрами............ 133
187. Прямые суммы как коммутаторы............ 135
188. Положительные самокоммутаторы........... 135
189. Проекторы как самокоммутаторы........... 135
190. Мультипликативные коммутаторы........... 136
191. Унитарные мультипликативные коммутаторы...... 137
192. Подгруппа коммутаторов............... 137
Глава 20. Теплицевы операторы....... 138
193. Операторы и матрицы Лорана............. 138
194. Теплицевы операторы и матрицы............ 138
195. Теплицевы произведения............... 140
196. Теорема о включении спектра для теплицевых операторов 141
197. Аналитические теплицевы операторы.......... 142
198. Собственные значения эрмитовых теплицевых операторов 143
199. Спектр эрмитова теплицева оператора......... 143
Литература........................... 337
Указатель обозначений....................... 342
Предметный указатель....................... 343
