Копчёнова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М., 1972, 368 с
Настоящее учебное пособие представляет собой руководство к решению задач по вычислительной математике.
Краткое содержание книги: правила приближенных вычислений, вычисление значений функций, приближенное решение систем линейных и нелинейных уравнений, интерполирование, приближенное дифференцирование и интегрирование, приближенное решение дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), приближенное решение интегральных уравнений.
Все параграфы содержат краткие теоретические сведения, подробное решение типовых примеров и задачи для самостоятельного решения. Большинство таких задач снабжены ответами.
Книга предназначена для студентов технических и экономических вузов. Она может оказаться полезной также инженерам, сотрудникам вычислительных центров и научным работникам в области технических и экономических наук.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................... . . 7
ГЛАВА I
ПРАВИЛА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ
§ 1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности 9
§ 2. Сложение и вычитание приближенных чисел............12
§ 3. Умножение и деление приближенных чисел............15
§ 4. Погрешности вычисления значений функции............16
§ 5. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.......................21
ГЛАВА II
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера.........24
§ 2. Вычисление значений некоторых трансцендентных функций с помощью
степенных рядов.........................26
§ 3. Некоторые многочленные приближения..............32
§ 4. Применение цепных дробей для вычисления значений трансцендентных функций...........35
§ 5. Применение метода итераций для приближенного вычисления значений функций.........37
ГЛАВА III
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Основные понятия....................... 43
§ 2. Метод Гаусса..........................44
§ 3. Компактная схема Гаусса. Модификация Краута—Дулитла .... 48
§ 4. Схема Гаусса, с выбором главного элемента............55
§ 5. Схема Халецкого........................60
§ 6. Метод квадратных корней....................64
§ 7. Вычисление определителей....................70
§ 8. Вычисление элементов обратной матрицы методом Гаусса.....73
§ 9. Метод простой итерации.....................77
§ 10. Метод Зейделя.........................84
§ 11. Применение метода итерации для уточнения элементов обратной
матрицы.............................87
ГЛАВА IV
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод Ньютона для системы двух уравнений...........90
§ 2. Метод простой итерации для системы двух уравнений.......92
§ 3. Распространение метода Ньютона на системы n уравнений с n неизвестными .........95
§ 4. Распространение метода итераций на системы n уравнений с n неизвестными ........99
ГЛАВА V ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 1 Постановка задачи интерполирования .............100
§ 2. Интерполирование для случая равноотстоящих узлов. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.............101
§ 3. Интерполяционные формулы Гаусса, Стирлинга, Бесселя......107
§ 4. Интерполяционная формула Лагранжа. Схема Эйткена......113
§ 5. Обратное интерполирование...................118
§ 6. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования 124
ГЛАВА VI ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 1. Формулы численного дифференцирования.............127
§ 2. Погрешности, возникающие при численном дифференцировании ... 131
§ 3. Выбор оптимального шага численного дифференцирования.....134
ГЛАВА VII ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Квадратурные формулы с равноотстоящими узлами........140
§ 2. Выбор шага интегрирования...................147
§ 3. Квадратурные формулы Гаусса..................153
§ 4. Интегрирование с помощью степенных рядов...........157
§ 5. Интегралы от разрывных функций. Метод Канторовича выделения
особенностей...........................161
§ 6. Интегралы с бесконечными пределами...............168
§ 7. Кратные интегралы. Метод повторного интегрирования, метод Люстерника и Диткина, метод Монте-Карло...............172
ГЛАВА VIII
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Задача Коши. Общие замечания.................184
§ 2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов . . 185
§ 3. Метод последовательных приближений...............192
§ 4. Метод Эйлера..........................197
§ 5. Модификации метода Эйлера...................202
§ 6. Метод Эйлера с последующей итерационной обработкой......205
§ 7. Метод Рунге —Кутта.......................206
§ 8. Метод Адамса..........................215
§ 9. Метод Милна..........................223
§ 10. Метод Крылова отыскания «начального отрезка».........226
ГЛАВА IX
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Постановка задачи........................238
§ 2. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка......................238
§ 3. Метод прогонки.........................240
§ 4. Метод конечных разностей для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка......................249
§ 5. Метод Галеркина.........................253
§ 6. Метод коллокации........................257
ГЛАВА X
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Метод сеток ...........................261
§ 2. Метод сеток для задачи Дирихле.................262
§ 3. Итерационный метод решения системы конечно-разностных уравнений 266
§ 4. Решение краевых задач для криволинейных областей.......275
§ 5. Метод сеток для уравнения параболического типа.........278
§ 6. Метод прогонки для уравнения теплопроводности.........284
§ 7. Метод сеток для уравнения гиперболического типа........286
§ 8. Решение уравнений Фредгольма методом конечных сумм......293
§ 9. Решение уравнения Вольтерра второго рода методом конечных сумм 298
§ 10. Метод замены ядра на вырожденное...............301
Приложения .............................304
Ответы................................307
Литература..............................365
Распределение литературы по главам . . . .........367
