Н. П. Корнейчук. Экстремальные задачи теории приближения. Главная редакция физико-математической литературы, М., 1976.
В монографии с современной точки зрения рассматриваются задачи, связанные с получением точной оценки погрешности наилучшего приближения на классах функций и с оптимальным выбором аппроксимирующего аппарата. Подробно изложены разработанные в последние годы новые методы, позволившие получить окончательные результаты в ряде экстремальных задач теории аппроксимации.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических специальностей, она будет полезна научным работникам в области теоретической и прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................... 6
Список основных обозначений................... 9
Глава 1. Постановка задач и общие свойства наилучшего
приближения....................................................II
§ 1.1 Залами теории приближения..........................U
§ 1 2. Общие свойства наилучшего приближения............10
§ 1.3. Общие теоремы существования и единственности элемента наилучшего приближения......................20
Глава 2. Двойственность экстремальных задач в линейных
нормированных пространствах................ 23
§2.1 Теорема Хана — Ban tха и отделимость выпуклых
множеств...... ................. 23
§ 2.2 Теоремы двойственности в случае приближения
конечномерным подпространством........... 24
§ 2.3 Соотношения двойственности в случае приближения
выпуклым замкнутым множеством ..............28
§ 2.4. Критерии элемента наилучшего приближения, вытекающие из соотношений двойственности ....... 34
§ 2.5. Двойственные соотношения для задач наилучшего
приближения в пространствах Lp (а, Ь) и С [а, Ь] . . 36
Глава 3. Наилучшее приближение фиксированного элемента
в пространствах С и Lp.............. ..... 43
§ 3.1 О существовании и едииственносчи элемента наилучшего приближения в С и Lp.............. 44
§ 3.2. Теоремы Чебышева и Валле-Пуссена ......... 46
§ 3.3. Критерии элемента наилучшего приближения в Lp в случае приближения подпространством ...... 52
§ 3.4. Критерии ближайшего элемента в С и Lp в случае
приближения замкнутым выпуклым множеством . 56
§ 3.5. Функции Бернулли и их наилучшее приближение
тригонометрическими полиномами в метрике L . . . 59
Глава 4. Наилучшее приближение на классах сверток .... 70
§ 4.1. Свертка функций; основные свойства и неравенства 70
§ 4.2 Двойственные соотношения для классов сверток. . . 73
§ 4.3. Приближение классов сверток тригонометрическими
полиномами ..............................................76
§ 4.4. Наилучшие линейные методы для классов сверток . 85
Глава 5. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами классов периодических функций с ограниченной r-й производной......................... 94
§ 5.1. Классы дифференцируемых функций ......... 94
§ 5.2. Функции Стеклова и их простейшие свойства .... 98
§ 5.3. Результаты по наилучшему приближению классов вытекающие из общих теорем для сверток..... 101
§ 5.4. Функции и их экстремальные свойства . . 104
§ 5.5. Наилучшие линейные методы для классов........................... 109
§ 5.6. Теорема сравнения Колмогорова и следствия из нее.....113
§ 5.7. Экстремальные свойства функций класса WrM в метрике пространства Lp.......120
§ 5.8. Наилучшее приближение класса в метрике ...... 125
§ 5.9. Замечание о распространении результатов на классы...............127
Глава 6. Перестановки и экстремальные свойства дифференцируемых функций ....................... 129
§ 6.1 Перестановки функций..................................130
§ 6.2. Простые функции и их перестановки ................132
§ 6.3. Разложение интеграла на сумму простых функций 136
§ 6.4. Сигма-перестановка ................................144
§ 6 5. Основное неравенство ..................................150
§ 6.6. Стандартные сигма-перестановки ..................154
§ 6.7. Теоремы сравнения для сигма-перестановок при ограничениях на норму в метрике пространства L .... 158
§ 6.8. Теоремы сравнения для Y-перестановок при ограничениях на норму в метрике пространства М .... 168
§ 6.9. О справедливости результатов для функций произвольного периода....................175
Глава 7. Наилучшее приближение тригонометрическими полиномами на классах.................. 176
§ 7.1. Модуль непрерывности................. 176
§ 7.2. Классы ...................... 183
§ 7.3. Функции ............... 187
§ 7.4. Основная лемма .................... 190
§ 7.5. Оценка функционала ..... 198
§ 7.6. Верхние грани наилучших приближений тригонометрическими полиномами на классах в пространствах С и L..................... 204
§ 7.7. О возможности реализации верхней грани с помощью линейного метода ............. 211
Глава 8 Наилучшее равномерное приближение класса функциями класса..................216
§ 8.1. Переход к двойственной задаче и некоторые свойства экстремальных функций ..........216
§ 8.2. Оценка приближения на классе .... 220
§ 8.3. Наилучшее приближение класса классом.........................224
§ 8.4. Другой вывод точной опенки для ...... . . . 227
Глава 9. Теоремы Джексона и точные константы............230
§ 9.1 Неравенства Джексона в С и Lp ..................230
§ 9.2 Точная константа в неравенстве Джексона для
функций пространства С................................234
§ 9.3. Точная константа в неравенстве Джексона для
функций пространства Lр ..............................237
§ 9.4. Точная константа в теоремах Джексона для Сr и Ur
при нечетных r ......................................243
Глава 10. Поперечники некоторых классов периодических
функций ........................................................252
§ 10.1 Вводные замечания......................................252
§ 10.2 Теорема о поперечнике шара ..........................254
§ 10.3 Поперечники классов в пространстве L2 ..... 258
§ 10.4 Поперечники классов в пространстве С 260
§ 10.5. Поперечники классов в пространстве L .....................273
§ 10.6. Оценка нечетных поперечников с помощью теоремы
о поперечнике шара................................281
§ 10 7 Об экстремальных подпространствах................286
Дополнение ....................................................290
§ Д.1 Неравенства Гельдера и Минковского для интегралов 296
§ Д.2. Некоторые экстремальные соотношения ..............301
Комментарии и библиографические указания ....................307
Литература ..........................................................315
