Крылов В. И. и др. Вычислительные методы высшей математики. Т. 1. Под ред. И. П. Мысовских. Мн., 1972. - 584 с. с илл..
Книга является первым томом учебного пособия по теории вычислительных методов математики для университетов. Она будет полезна также для студентов технических учебных заведений с достаточно большой программой математики. Вместе с тем книга рассчитана на широкий круг лиц, интересующихся теорией методов вычислений.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
ГЛАВА 1. РЕШЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 7
§ 1.1. О содержании задачи решения уравнений —
§ 1.2. Метод итерации. Случай одного численного уравнения 10
§ 1.3. О задаче улучшения метода итерации. Некоторые видоизменения итерационного процесса 18
§ 1.4. Улучшение итерационного процесса при помощи преобразования заданного
уравнения 28
§ 1.5. Понятие об общей теории метода итерации. Теорема о сжатых отображениях 34
§ 1.6. Метод итерации для систем уравнений 37
§ 1.7. Метод Ньютона. Случай одного численного уравнения 44
§ 1.8. Об уточнениями изменениях метода Ньютона 56
§ 1.9. Операторные уравнения и метод Ньютона 73
§ 1.10. Метод Ньютона для систем уравнений 79
§ 1.11. Метод решения, основанный на возведении корней в степень 88
§ 1.12. Нахождение корней многочленов при помощи выделения множителей 96
Литература 102
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЮЗ
§ 2.1. Некоторые сведения из линейной алгебры 104
2.1.1. Сходимость последовательностей векторов и матриц —
2.1.2. Нормы векторов и матриц —
2.1.3. Сходимость матричной геометрической прогрессии 115
§ 2.2. Итерационные методы 119
2.2.1. Основные разновидности итерационных процессов 120
2.2.2. Метод простой итерации 122
2.2.3. Метод Ричардсона в 132
2.2.4. Метод Зейделя и метод релаксации * 136
§ 2.3. Методы исключения 150
2.3.1. Метод Гаусса 151
2.3.2. Метод оптимального исключения 155
2.3.3. Метод окаймления 158
2.3.4. Вычисление определителей 162
2.3.5. Обращение матриц 164
§ 2.4. Методы, основанные на разложениях матрицы 173
2.4.1. Метод квадратного корня 174
2.4.2. Метод отражений 181
2.4.3. Вычисление определителей 186
2.4.4. Обращение матриц 188
§ 2.5. Методы, основанные на построении вспомогательной системы векторов,
ортогональных в некоторой метрике 189
2.5.1. Метод ортогонализации —
2.5.2. Алгоритм Уилкинсона 197
2.5.3. Метод сопряженных градиентов 199
2.5.4. Вариант метода сопряженных градиентов 205
2.5.5. Метод скорейшего спуска 208
§ 2.6. Способы оценки погрешности приближенного решения системы 213
2.6.1. Обусловленность систем уравнений и матриц 214
2.6.2. Оценка погрешности 215
Литература 218
ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ 213
§ 3.1. О содержании задачи —
§ 3.2. Метод А. Н. Крылова 224
3.2.1. Некоторые сведения из алгебры 225
3.2.2. Нахождение собственных значений матрицы 227
3.2.3. Вычисление собственных векторов матрицы 230
§ 3.3. Метод А. М. Данилевского 233
3.3.1. Построение собственного многочлена матрицы 234
3.3.2. Вычисление собственных векторов матрицы 239
§ 3.4. Другие методы получения собственного многочлена матрицы 241
3.4.1. Интерполяционный метод —
3.4.2. Метод Леверье 241
3.4.3. Метод Д. К. Фаддеева 244
3.4.4. Метод окаймления 246
3.4.5. Эскалаторный метод 248
3.4.6. Метод ортогонализации 250
3.4.7. Метод Хессенберга 260
3.4.8. Метод Самуэльсона 265
§ 3.5. Итерационные методы нахождения собственных значений и собственных
векторов матрицы 267
3.5.1. Степенной метод для вычисления наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора 26S
3.5.2. Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы 279
3.5.3. Видоизменения степенного метода 282
3.5.4. Метод Я-разности 287
§ 3.6. Метод вращений 289
3.6.1. Случай вещественных симметрических матриц 292
3.6.2. Сходимость метода вращений 295
3.6.3. Случай эрмитовых матриц 301
§ 3.7. Уточнение собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц и ускорение сходимости метода итерации при решении систем
линейных алгебраических уравнений 304
3.7.1. Уточнение полной проблемы собственных значений . —
3.7.2. Уточнение отдельного собственного значения и принадлежащего ему собственного вектора 309
3.7.3. Сигма квадрат-Процесс Эйткена 314
3.7.4. Метод М. К. Гавурина 317
3.7.5. Метод Л. А. Люстерника 320
Литература 324
ГЛАВА 4. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ 325
§ 4.1. О содержании задачи интерполирования —
4.1.1. Об интерполяционных приближениях —
4.1.2. Остаток интерполирования 332
§ 4.2. Конечные разности и разностные отношения 336
4.2.1. Конечные разности —
4.2.2. Разностные отношения, их свойства и связь с конечными разностями 338
§ 4.3. Алгебраическое интерполирование по значениям функции. Погрешность
интерполирования 344
4.3.1. Введение —
4.3.2. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона 347
4.3.3. Остаток интерполирования и его представления для некоторых классов функций 349
§ 4.4. Некоторые правила интерполирования при равноотстоящих значениях
аргумента 38В
4.4.1. Правила для интерполирования в начале и конце „таблицы
4 4.2. Правила интерполирования внутри таблицы 360
§ 4.5. Приложение интерполирования к численному нахождению производные 364
4.5.1. Об интерполяционном правиле вычисления производной от функции, заданной таблично —
4.5.2. Некоторые частные правила вычисления производных 369
§ 4.6. Интерполяционные методы решения численных уравнений 372
4.6.1. Введение. Связь с задачей обратного интерполирования —
4.6.2. Метод приближений, основанный на интерполировании обратной функции 374
4.6.3. Замена точного уравнения f(x)=0 приближенным, полученным интерполированием f 376
§ 4.7. Интерполирование с кратными узлами 377
4.7.1. Существование и единственность интерполирующего многочлена. Остаток —
4.7.2. Представление в случае аналитической функции f. Формула Эрмита для многочлена Р(х) 380
§ 4.8. Сходимость интерполяционных процессов 383
4.8.1. О предельной функции распределения узлов 384
4.8.2. Сходимость интерполирования аналитических функций 385
4.8.3. Некоторые вспомогательные теоремы 394
4.8.4. Сходимость интерполирования на множествах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций 399
Литература 413
ГЛАВА 5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 414
§ 5.1. Квадратурная сумма и условия ее построения. Остаток квадратуры —
5.1.1. О квадратурной сумме —
5.1.2. Остаток приближенной квадратуры 419
§ 5.2. Интерполяционные квадратурные правила и их погрешности 420
§ 5.3. Правила Ньютона — Котеса 424
§ 5.4. Некоторые простейшие правила Ньютона — Котеса 432
5.4.1. Правило трапеций —
5.4.2. Правило парабол (формула Симпсона) 434
5.4.3. Правило «трех восьмых» 436
§ 5.5. Квадратурные правила наивысшей алгебраической степени точности 437
5.5.1. Построение правила и его единственность —
5.5.2. Два замечания о квадратурных коэффициентах 441
5.5.3. Остаток квадратурного правила 443
5.5.4. Сходимость квадратурного процесса наивысшей степени точности 444
5.5.5. Замечание об интегрировании периодических функций 446
§ 5.6. Некоторые частные случаи квадратурных правил наивысшей алгебраической степени точности 447
5.6.1. Постоянная весовая функция —
5.6.2.-5.6.4. Интегралы вида 450
§ 5.7. Квадратурные правила наивысшей степени точности, имеющие фиксированные заранее узлы 458
5.7.1. Некоторые общие теоремы —
5.7.2. Некоторые частные квадратурные правила 461
§ 5.8. Квадратурные правила с равными коэффициентами 463
5.8.1. Построение формул Чебышева. Существование и единственность —
5.8.2. Случай постоянного веса р(*) = 1 466
§ 5.9. Увеличение точности квадратурных правил. Формулы эйлерова вида 474
5.9.1. Введение —
5.9.2. Правила эйлерова вида 476
5.9.3. Формула Эйлера — Маклорена 480
5.9.4. Разностные видоизменения формулы Эйлера — Маклорена 485
§ 5.10. Увеличение точности квадратурных правил. Ослабление особенностей интегрируемой функции 487
§ 5.11. Сходимость квадратурного процесса 49 І
5.11.1. Условия сходимости общего квадратурного процесса —
5.11.2. Сходимость интерполяционных квадратурных процессов 498
§ 5.12. Вычисление неопределенного интеграла 500
5.12.1. Введение —
5.12.2. Погрешность вычислений и сходимость 504
§ 5.13. Понятие о некоторых частных методах вычисления неопределенного интеграла 511
5.13.1. Интегрирование функции, заданной таблицей значений —
5.13.2. Вычисление при помощи периодически расположенных узлов 517
5.13.3. О правилах, использующих в вычислениях несколько предшествующих значений интеграла 521
Литература 531
ДОБАВЛЕНИЕ I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА * 532
§ 1. Метрические пространства. Сходимость и полнота —
§ 2. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы 535
§ 3. Дифференцирование Нелинейных операторов и некоторые теоремы, с этим
связанные 546
ДОБАВЛЕНИЕ II. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ 554
§ 1. Числа Бернулли —
§ 2. Многочлены Бернулли и их свойства 556
§ 3. Периодические функции, связанные с многочленами Бернулли 560
§ 4. Представление произвольной функции при помощи многочленов Бернулли 562
ДОБАВЛЕНИЕ III. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 565
ДОБАВЛЕНИЕ IV. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 572
§ 1. Уравнения в конечных разностях произвольного вида —
§ 2. Линейные уравнения 573
§ 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 578
Часть 1
Часть 2
