Крылов В.И. и др. Вычислительные методы высшей математики. Том 2

Крылов В.И., Бобков В.В., Mонастырный П.И. Вычислительные методы, том II. - Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1977
Книга является второй частью пособия, предназначенного для студентов высших технических учебных заведений, физических и механико-математических факультетов университетов. Она может служить справочником для всех лиц, которым приходится иметь дело с научными и техническими расчетами.
В книге содержится изложение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Приведены также наиболее часто применяемые методы ускорения сходимости рядов и последовательностей. Кроме того, дано краткое изложение некоторых вопросов общей теории вычислительных методов на основе функционального анализа.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................. 7
Глава 6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 1. Методы решения задачи Копій. Вводные замечания ... 10
§ 2. Построение одношаговых методов способом разложения
решения в ряд Тейлора................... 14
1. Пошаговый вариант метода рядов (14). 2. Видоизменение метода рядов, не требующее вычисления производных правой части уравнения (15).
§ 3. Способ Рунге —Кутта построения одношаговых методов 21
§ 4. Построение вычислительных правил на основе принципа последовательного повышения порядка точности результата .......................... ... 32
1. Случай уравнений первого порядка (32). 2. Случай уравнений высших порядков (38).
§ 5. Сходимость одношаговых методов.............. 42
§ 6. Главный член погрешности. Правило Рунге........ 53
§ 7. Методы типа двусторонних ................. 59
§ 8. Многошаговые методы.................... 72
1. Экстраполяционные методы Адамса (74). 2. Интерполяционные методы Адамса (79). 3. Методы с забеганием вперед (85).
§ 9. Решение линейных граничных задач............ 93
1. Постановка задачи. Понятие о многоточечных и граничных задачах (93). 2. Метод дифференциальной прогонки (95).
§ 10. Решение нелинейных граничных задач .......... 100
1. Метод редукции к задачам Коши (101). 2. Метод линеаризации (104).
§ 11. Метод сеток для решения линейных граничных задач . . 107
1. Постановка задачи. Идея метода сеток (107). 2. Методы замены обыкновенных дифференциальных уравнений и граничных условий системой алгебраических уравнений (108). 3. О разрешимости систем разностных уравнений (111). 4. Метод ортогональной прогонки (113). 5. Оценка погрешности и сходимость метода сеток (117).
§ 12. Метод Галеркина и метод моментов ............ 120
§ 13. Метод наименьших квадратов и мегод Ритца....... 129
Литература ............................. 140
Глава 7. Решение дифференциальных уравнений в частных производных
§ 1. Разностные схемы, основные понятия............ 141
1. Сходимость и аппроксимация разностных схем (142).
2. Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью (145),
§ 2. Разностные схемы для уравнений параболического типа . . 146
1. Решение задачи Коши (146). 2. Об устойчивости двухслойных разностных схем (151). 3. О разностных схемах расщепления (155). 4. Решение смешанных граничных задач (159). 5. Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана (162). 6. Экономичные разностные схемы (165).
§ 3. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа . . 175 1. Построение разностных аппроксимаций для уравнений (176). 2. Аппроксимация граничных условий (180). 3. Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона (183). 4. Об устойчивости разностной схемы (20) (184). 5. Метод матричной прогонки (188). 6. Правило Рунге (191). 7. Метод итераций для разностной задачи Дирихле (192).
§4. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа . . 201
1. Решение задачи Коши (203). 2. Решение смешанной задачи (208). 3. Об устойчивости явной трехслойной разностной схемы (210).
§ 5. Метод характеристик..................... 215
1. Характеристики дифференциального уравнения (215).
2. Построение сетки характеристик (221). 3. Нахождение характеристических полосок (224).
§ 6. Метод прямых......................... 228
1. Поперечные схемы метода прямых для уравнений параболического типа (229). 2. Продольные схемы метода прямых для параболических уравнений (234). 3. Метод прямых для уравнений гиперболического типа (238). 4. Метод прямых для эллиптических уравнений (241).
§ 7. Метод интегральных соотношений.............. 244
§ 8. Понятие о методе моментов и методе Галёркина...... 248
Литература............................. 251
Глава 8. Численное решение интегральных уравнений
§ 1. Введение............................ 252
§ 2. Уравнения вольтеррова вида второго рода......... 258
1. Вид вычислительного правила и теорема о сходимости вычислительного процесса (258). 2. Правила вычислений, основанные на формуле Эйлера—Маклорена (264).
§ 3. Уравнения Фредгольма второго рода. Метод квадратур . . 266
1. Метод квадратур (267). 2. Сходимость метода квадратур (273). 3. Интерполяционный квадратурный метод (275).
§ 4. Метод замены ядра уравнения на вырожденное ядро . . . 278
1. Некоторые сведения об уравнениях с вырожденным ядром (278), 2. Замечания о методах построения вырожденного ядра, близкого к ядру уравнения (280). Оценка близости между решениями уравнений в зависимости от близости самих уравнений (282).
Литература ............................. 285
Глава 9. Улучшение сходимости рядов и последовательностей
§ 1. Введение............................ 286
1. О задаче улучшения сходимости (286). 2. Связь с проблемой суммирования расходящихся рядов и определения пределов расходящихся последовательностей (289).
§ 2. Интерполяционные методы преобразования последовательности ............................ 297
1. Некоторые общие сведения (297). 2. Интерполирование при помощи многочленов от 1 /n. Случай постоянного числа узлов (301). 3. Некоторые типы сходимости (308). 4. Вспомогательная лемма (309). 5. Некоторые теоремы об ускорении сходимости (312). 6. Интерполяционные методы преобразования с возрастающим числом узлов (314). 7. Обращение преобразования (316). 8. Теорема об ускорении сходимости (320).
§ 3. Улучшение сходимости последовательностей, для которых погрешность приближения к пределу близка к показательной функции или линейной комбинации таких функций . . 325 1. Простейшее правило преобразования и некоторые его свойства (325). 2. Об улучшении сходимости (327). 3. Применение 62-преобразования к улучшению сходимости и аналитическому продолжению степенного ряда (329). 4. Связь с методом интерполирования предельного значения (331). 5. О пути уточнения 62-преобразования (333). 6. Правило ускорения сходимости последовательности, для которой погрешность приближения к пределу близка к линейной комбинации показательных функций (335). 7. Теорема об ускорении сходимости (342). 8. Об улучшении сходимости и аналитическом продолжении степенного ряда мероморфной функции (349).
§ 4. Улучшение сходимости ряда с помощью выделения медленно
сходящейся части....................... 351
1. Введение (351). 2. Числовые ряды. Случай убывания членов ряда по степенному закону (352). 3. Улучшение сходимости тригонометрического ряда (355).
Литература ............................. 357
Глава 10. Применение функционального анализа к построению теории некоторь!х разделов вычислительной математики
§ 1. Необходимые сведения из функционального анализа . . . 358
1. Метрические пространства. Сходимость и полнота (358).
2. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы (361). 3. Дифференцирование нелинейных операторов (365).
§ 2. Метод итерации для решения операторных уравнений . . 371
1. Метод итерации для операторных уравнений (372). 2. Теоремы о сходимости и единственности (373). 3. Приложение к системам уравнений с числовыми неизвестными (376).
§ 3. Метод Ньютона для операторных уравнений....... 380
1. Правило построения приближений к решению (380).
2. Теорема о сходимости последовательности приближений (381).
§ 4. Задача упрощения уравнений................ 387
1. Введение (387). 2. О разрешимости приближенного уравнения (389). 3. Оценка погрешности приближения и условия сходимости (392).
Литература ............................. 394
Указатель обозначений....................... 395
Предметный указатель....................... 396