Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов

Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. - М., 1967. - 500 с.
В книге рассмотрены вопросы нахождения численных значений интегралов как однократных, так и многократных. Наибольшее внимание уделено правилам, часто применяемым в практике вычислений. В частности, значительное место отведено задачам численного гармонического анализа и обращению преобразования Лапласа.
Книга рассчитана на лиц, занимающихся теорией вычислений, работников вычислительных учреждений, студентов и преподавателей вузов. Она может быть полезным справочником для всех, кто по роду работы соприкасается с научными и техническими расчетами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию......................................7
Предисловие к первому изданию......................................8
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Глава 1. Числа и многочлены Бернулли..................9
§ 1. Числа Бернулли..............................................9
§ 2. Многочлены Бернулли........................................11
§ 3. Периодические функции, связанные с многочленами Бернулли 19
§ 4. Разложение произвольной функции по многочленам Бернулли 20
Глава 2. Ортогональные многочлены..............................23
§ 1. Некоторые общие теоремы об ортогональных многочленах . . 23
§ 2. Многочлены Якоби и Лежандра..............................28
§ 3. Многочлены Чебышёва........................................31
§ 4. Многочлены Чебышёва — Эрмита..............................37
§ 5. Многочлены Чебышёва — Лягерра............................38
Глава 3. Интерполирование функций..............................40
§ 1. Конечные разности и разностные отношения..................40
§ 2. Интерполирование по значениям функции....................44
§ 3. Интерполирование с кратными узлами........................48
§ 4. Тригонометрическое интерполирование........................52
Глава 4. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы ..........................................................57
§ 1. Линейные нормированные пространства......................57
§ 2. Линейные операторы..........................................61
§ 3. Сходимость последовательности линейных операторов .... 64
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Глава 5. Квадратурные суммы и задачи, с ними связанные.
Остаток приближенной квадратуры............................67
§ 1. Квадратурные суммы..........................................67
§ 2. Об остатке приближенной квадратуры и его представлении 74
Глава 6. Интегрирование функций, для которых известна таблица
значений. Интерполяционные квадратуры........... 79
§ 1. О содержании задачи.................... 79
§ 2. Интерполяционные квадратурные формулы и их остаточные
члены ........................... 80
§ 3. Формулы Ньютона — Котеса................. 83
§ 4. Некоторые простейшие формулы Ньютона — Котеса..... 95
§ 5. Правила квадратур, имеющие степень точности ниже интерполяционной .........................101
§ 6. Об отбрасывании узлов при построении правил интегрирования .............................105
§ 7. Правила интегрирования, использующие значения функции
и производных........................107
§ 8. Некоторые результаты общей теории интерполяционных квадратур ............................111
Глава 7. Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности ..............................116
§ 1. Общие теоремы.......................116
§ 2. Постоянная весовая функция.................123
§ 3 - § 5. Интегралы вида .........129
Глава 8. Интегрирование периодических функций........148
§ 1. О задаче интегрирования периодической функции и форме
интеграла..........................148
§ 2. Интерполяционные правила интегрирования.........149
§ 3. Правило наивысшей степени точности............151
§ 4. Остаток квадратуры периодической функции и его оценка . . 164
Глава 9. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы...........................168
§ 1. Некоторые общие теоремы..................168
§ 2. Формулы частного вида...................174
§ 3. Замечание о вычислении интегралов со знакопеременной весовой функцией.......................183
§ 4. Уточнение правил гауссова типа...............187
Глава 10. Квадратурные формулы с равными коэффициентами 191
§ 1. Нахождение узлов......................191
§ 2. Единственность квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности с равными коэффициентами.....195
§ 3. Интегралы с постоянной весовой функцией..........199
Глава 11. Квадратуры с наименьшей оценкой остатка......209
§ 1. О задаче минимизации остатка квадратуры......... . 209
§ 2. Минимизация остатка в классах iSp.............210
§ 3. Минимизация остатка в классах Ст..............225
§ 4. Задача минимизации оценки остатка квадратуры с закрепленными узлами.........................228
Глава 12. Сходимость квадратурного процесса..........236
§ 1. О проблеме сходимости квадратурного процесса.......236
§ 2. Сходимость интерполяционных квадратур для аналитических
функций...........................237
§ 3. Сходимость общего квадратурного процесса.........257
Глава 13. Увеличение точности квадратуры и ускорение сходимости квадратурного процесса.................267
§ 1. О двух направлениях в задаче увеличения точности.....267
§ 2. Ослабление особенности интегрируемой функции.......270
§ 3. Эйлеровы методы разложения остатка квадратуры......274
§ 4. Увеличение точности квадратуры при наличии короткого главного участка интегрирования в интегральном представлении остатка...........................296
§ 5. Увеличение скорости сходимости квадратурного процесса . . 307
Глава 14. Численное преобразование Фурье...........315
§ 1. Преобразование Фурье на конечном отрезке и вычисление
коэффициентов Фурье гладкой периодической функции .... 315
§ 2. О вычислении вспомогательных интегралов, содержащих тригонометрические множители.................321
§ 3. Применение алгебраического интерполирования к вычислению
коэффициентов Фурье....................328
§ 4. Увеличение точности вычисления коэффициентов Фурье путем
предварительной подготовки функции............331
§ 5. Интегральные преобразования Фурье и интерполяционные методы их численного осуществления.............335
§ 6. Правила наивысшей степени точности............341
§ 7. Увеличение точности вычисления интегралов Фурье при помощи предварительной подготовки функции..........344
Глава 15. Численное обращение преобразования Лапласа .... 352
§ 1. Преобразование Лапласа, задача его обращения и связь ее
с преобразованием Фурье..................352
§ 2. Интерполяционные правила.................358
§ 3. Правило наивысшей степени точности............364
§ 4. Квадратурное правило с равными коэффициентами......369
§ 5. Замечания об увеличении точности вычислений при помощи
предварительной подготовки изображения..........372
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Глава 16. Введение........................377
§ 1. Предварительные замечания.................377
§ 2. Погрешность вычислений...................382
§ 3. Сходимость и устойчивость вычислительного процесса .... 388
Глава 17. Интегрирование функции, заданной таблицей значений 398
§ 1. Содержание задачи и один из методов ее решения.......398
§ 2. Остаток...........................402
Глава 18. Вычисление неопределенного интеграла с малым числом значений интегрируемой функции.............403
§ 1. Содержание задачи и некоторые общие теоремы о расчетной
формуле ...........................403
§ 2. Расчетные формулы частного вида..............409
Глава 19. Методы вычисления, использующие несколько предшествующих значений интеграла . ...............419
§ 1. Содержание задачи......................419
§ 2. Условия, которые должны выполняться при достижении наивысшей степени точности ....................................422
§ 3. Существование и число интерполирований наивысшей степени
точности...........................425
§ 4. Остаток интерполирования и минимизация его оценки .... 426
§ 5. Условия положительности коэффициентов aj.........428
§ 6. Связь с задачей решения дифференциального уравнения при
помощи многочлена.....................430
§ 7. Формулы частного вида....................432
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Глава 20. О методах вычисления, основанных на приведении
многократного интеграла к однократным...........435
§ 1. Предварительные замечания о «проблеме большого числа
узлов»............................435
§ 2. Влияние формы области на выбор правил интегрирования . . . 437
Глава 21. Интерполяционные кубатурные формулы.......442
§ 1. Алгебраическое интерполирование функций многих переменных 442
§ 2. Интерполяционные кубатурные формулы...........447
§ 3. Примеры построения кубатурных формул...........453
Глава 22. Кубатурные формулы с наименьшим числом узлов . . 462
§ 1. Кубатурная формула, точная для многочленов первой степени 462
§ 2. Кубатурные формулы, точные для многочленов второй степени 463
§ 3. Кубатурные формулы, точные для многочленов третьей степени 467
§ 4. Кубатурная формула Радона.................471
Глава 23. Кубатурные формулы для областей частного вида . . . 488
§ 1. Гиперкуб..........................488
§ 2. Гиперсфера.........................489
§ 3. Гипершар..........................492
§ 4. Симплекс......................... .495